1.   Position du problème  

On s’intéresse au couple « Terre-Lune »  On fait des hypothèses suivantes : 

La Lune décrit une trajectoire circulaire autour de la Terre. Les masses de la Terre et de la Lune sont constantes. La terre tourne sur elle-même. On suppose que la rotation de la Lune est synchronisé sur sa révolution. On suppose le couple « isolé ». On imagine que la distance Terre-Lune ou la période de rotation de la Terre peut changer. 

2.   Les constantes. 
Masse de la Lune : m = 7 10²² kg. 

Masse de la terre : M = 6 10²⁴ kg. 

Constante de gravitation G = 6,64 10^-11 Nm²/kg² 

Rayon de la Terre r = 6375000 m 

3.   Première formule 

Pour une sphère solide, le moment d’inertie I = 0,4 M r² . La Terre n’étant pas homogène, la valeur est I = 0,33 Mr² = 8 10³⁷ kgm².
  

4.   Les variables.  

- La distante Terre-Lune : R. Actuellement R = 384500000 m 

- La vitesse angulaire de rotation de la Terre : w. 

Elle est en relation avec le jour sidéral t.   Actuellement, t = 86164 s et w = 2pi/t = 7,3 10^-5 rad/s 

5.   Conservation du moment angulaire.  
5.1        Moment angulaire de la lune  

L1 = m v R 

Vitesse de la lune v = 2piR/T 

La période de la lune T est fournit par la version newtonnienne de la troisième loi de Kepler T² = 4pi² R³/ (G(m+M)) 

L1 = 2pi m R²/T = m (R G (m + M))^1/2 

 
5.2        Moment angulaire de la terre 

L2 = I w 

5.3        Conservation du moment angulaire total.  

Le système étant isolé, aucun autre corps  ne peut « emporter » une partie du moment angulaire. Cela suppose que l’on néglige un dispositif éjectant de la matière terrestre (il faudrait une grosse masse à très grande vitesse pour que l’effet soit perceptible). 

L1+L2 = constante 

dL1 = -dL2 

On a dL1 =  m (G(m+M)/R)^1/2 /2dR 

On a dL2 = I dw 

D’où une première équation : dw = - m (G(m+M)/R)^1/2 /2I dR 

Si la distance Terre-Lune augmente, la Terre ralentit (la durée du jour rallonge) 

En application numérique (unité SI) pour R de départ dw = -4,5 10^-13 dR 

Comme w = 2pi/t, dt = -2pi/w² , on a : dw = 5 10^-4 dw 

L’éloignement de 1 m de la Lune correspond à un ralentissement de ½ milliseconde du jour. 

6.   Considération énergétique. 

On a les énergies suivantes 

-         Energie potentiel de gravitation : E1. 

-         Energie cinétique de la lune : E2. 

-         Energie de rotation de la Terre : E3. 

-         On négligera l’énergie de rotation de la Lune (faible rotation, faible moment d’inertie) et sa variation (la lune continue à présenter la même face) 

E1 = -GMm/R 

E2 = ½ m v² 

Qui donne grâce à (v=2piR/T, T² = 4pi² R³/ (G(m+M))) 

E2 = mG(m+M)/2R 

E1 + E2 = mG(m-M)/2R 

Pour cette part, l’énergie augmente lorsque la Lune s’éloigne (m-M etant négatif). 

E3 = ½ I w² 

Variation d’énergie dE = mG(M-m)/2R² dR + Iw dw  
Soit dE = (G(M-m)/R2) - w(G(m+M)/R)^1/2 )m/2 dR

On remarque que c’est indépendant de I (donc de r). 

En valeur numérique  dE/dR = -2,5 10²¹ J/m. 

Le coefficients valent 9,4 10¹⁹ pour la révolution de la Lune (dE1 + dE2), et -2,6 10²¹ pour la rotation de la Terre (dE3). L’effet de cette rotation est donc largement prépondérant. 

L’éloignement de la lune fournit de l’énergie (de la chaleur dissipée dans la Terre et la Lune). Pour 1 m, on a -2,5 10²¹ J 

L’éloignement naturel est de 3,5 m par siècle.

Sur un an l’énergie dissipée est donc de : 8 10¹⁹ J. 

Rappel : l’énergie solaire absorbée par la Terre annuellement est ET = 3,9 E+24J.

L’énergie dissipée par cette mécanique est environ un 22 millionième de l’énergie solaire.

La seule solution technique pour récupérer cette énergie réside dans les usines marémotrices. 

7.   Usine marémotrice de la Rance.

Sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Usine_mar%C3%A9motrice_de_la_Rance 

On a le chiffre de 600 000 000 kwh/an Soit 2,16 10¹⁵ J. Cette énergie électrique est le 25 millionième de l’énergie du couple Terre-Lune. 

Pas mal, car il faut tenir compte des aspects suivants 

-          L’énergie électrique produite n’est qu’une fraction de l’énergie captée (prenons un facteur 1/2) 

-          L’énergie du couple Terre-Lune se partage entre la Terre et la Lune (prenons une moitie pour la Terre). 

-          L’énergie se dissipe dans les mouvements et déformations, la mer n’est pas la seule affectée. Prenons encore un facteur 1/2. 

Avec ces chiffres, l’usine fournit 2 dix millième de l’énergie récupérable pour tous les océans. Il en « faudrait 50 000 »  pour « tout récupérer » en supposant que toutes soient aussi efficaces. 

Avec ces calculs de coin de table et les hypothèses faites, il n’est pas possible d’analyser un autre phénomène : les usines marémotrices perturbent le moment d’inertie I