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7 juillet 2009 2 07 /07 /juillet /2009 13:48

Cet article contient beaucoup d'erreurs. Il est repris dans l'article du 21 avril 2010.

 

 

 

 

Mes enfants et moi avons « appris » le poker et plus particulièrement le « texas hold em ». Il est intéressant d’examiner les probabilités associées. Rappel, il s’agit de faire une « main » de 5 cartes avec 7 cartes. Le jeu est de 52 cartes. Les jeux sont : « rien », « une paire », «  deux paires », « un brelan », « une quinte », « une couleur », « un plein » « un carré » et une « quinte couleur ».

 

Première question : combien y a-t-il de façons d’obtenir 7 cartes ?

C’est une simple combinaison, l’ordre d’apparition des 7 cartes n’intervient pas. On a donc le nombre N = 52 * 51 * 50 * 49 * 48 *47 *46 / (1 * 2 * 3 *4 * 5 * 6 * 7) = 133 784 560.

Ce nombre sera le « diviseur » pour obtenir les probabilités d’apparition des différentes « mains ».

 

Avant de lancer le calcul, on va chercher à classer les configurations différentes pour « 7 cartes ». Pour cela on va commencer par s’intéresser aux paires.

Avec 7 cartes, on a soit aucune paire, soit une paires, soit 2 paires (de différentes valeurs) soit 3 paires. Le dernier cas ne peut pas faire une main de 5 cartes mais c’est un configuration du tirage.

Passons au « groupe de 3 cartes de même valeur » (que l’on nommera « brelan » bien que là aussi on doive distinguer la configuration du tirage des 7 cartes de la main de 5 cartes) . Il peut y avoir un brelan (il y a une paire sous jacente). On peut aussi avoir un brelan et une paire (il y a donc 2 paires), un brelan et 2 paires (il a donc 3 paires) et 2 brelans (2 paires).

Avec le « carré », on a soit un carré (et donc un « brelan ») soit un carré et une paire (2 paires) soit un carré et un brelan (2 paires).

On voit que l’on peut partitionner l’ensemble des 133 millions et quelques de configurations et différents sous-ensembles.

A : Rien

B : Une paire « sèche »

C : Un brelan « sec »

D : Un carré « sec »

E : 2 paires « sèches »

F : Un brelan et une paire

G : 2 brelans

H : Un carré et une paire

I : Un carré et un brelan

J : 3 paires

K : Un brelan et 2 paires.

 

A cela il faut ajouter les cas des couleurs et des quintes. Ces  cas « monopolisent » 5 cartes qui ne jouent pas dans ces « histoires de paires ». Il reste donc 2 cartes disponibles. Donc il ne peuvent se conjuguer qu’avec les configurations A, B, C et E.

Par contre, les mélanges des cas « couleur » et « quinte » sont plutôt « libres ». On se retrouve donc avec la liste de configurations suivantes :

 

Dérivant de A :

1 : rien

2 : Quinte « sèche »

3 : Couleur et quinte ‘mais pas quinte couleur)

4 : Couleur « sèche »

5 : quinte couleur « sèche »

 

Dérivant de B

6 : Paire « sèche »

7 : quinte et paire

8 : couleur et paire

9 : Couleur quinte et paire (mais pas quinte couleur)

10 : quinte couleur et paire.

 

Dérivant de C

11 ; couleur et brelan

12 : brelan « sec »

13 : couleur, quinte et brelan (mais pas quinte couleur). Un examen plus précis montre que ce cas n’est pas possible.

14 : quinte couleur et brelan.

15 : quinte et brelan

 

D. 16 : carré

 

Dérivant de E

17 : 2 paires

18 : Quinte et 2 paires

19 : couleur quinte et 2 paires (mais pas quinte couleur). Ce n’est pas possible

20 : quinte couleur et 2 paires

21 : couleur et 2 paires

 

F. 22 : brelan + paire

G. 25 : 2 brelans

H. 23 : carré + paire

I. 24 : carré + brelan

J. 26 : 3 paires

K. 27 : brelan + 2 paires.

 

Dénombrons !

 

N27 = 13 * 4 * 12 * 6 * 11 *6 / 2 = 123 552

N26 = 13 * 6 * 12 * 6 * 11 * 6 * 40 / 6 = 2 471 040

N25 = 13 *4 * 12 * 4 * 44 / 2 = 54 912

N24 = 13 * 12 * 4 = 624

N23 = 13 * 12 *6 * 44 = 41 184

N22 = 13 * 4 * 12 * 6 * 44 * 40 / 2 = 3 294 720

N20 = 4 * 10 * 15 * 12 / 2 = 3 600

N20 + N21 = 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 / 120 * 15 * 11 / 2 = 424 710

Donc N21= 421 110

N18 +N20 = 10 * 4^5 *15 * 11 / 2 / 6 = 140 800

Donc N18 = 138 400

N17 + N18 + N20 + N21 =  13 * 6 * 12 * 6 / 2 * 44 *40 * 36 / 6 = 29 652 480

Donc N17 = 29 089 370

N16 = 13 * 48 * 44 * 40 / 6 = 183 040

N14 = 4 * 10 * 5 * 3 = 600

N14 + N15 = 10 * 4^5 * 5 * 3 / 3 = 51 200

Donc N14 = 50 600

N11 + N14 = 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 / 120 * 5 * 3 = 77 220

Donc N11 = 76 620

N11 + N12 + N14 + N15 = 13 *4 * 48 * 44 * 40 * 36 / 24 = 6 589 440

Donc N12= 6 461 620

N10 = 4* 8 * 15 * 30 + 4 * 2 * 15 * 31 + 4 * 9 * 18 = 18768

N9 ?

Il y a la quinte xyztu. Il y a une autre hauteur v. On a le cas où v est rattaché à xyztuv et celui où il ne l’est pas. La paire se forme avec xyztu ou bien avec v. La couleur est nécessairement avec xyztu v.

6 de suite * une couleur * la paire *  une liberté de couleur : 9 * 4 * 18 * 17 / 2 = 5 508

5 de suite (as) * une couleur * paire en v cas N10 : 2 * 4 * 7 * 6 = 336

5 de suite (as) * une couleur * paire en v cas non N10 : 2 * 4 * 7 * 3 * 18 = 3 024

5 de suite (as) * une couleur * paire non en v cas N 10 : 2 * 4 * 7 * 18 * 4 = 4 032 

5 de suite (as) * une couleur * paire non en v cas non N 10 paire hors couleur : 2 * 4 * 7 * 5 * 3   = 840

5 de suite (as) * une couleur * paire non en v cas non N 10 paire dans couleur : 2 * 4 * 7 * 5 * 3 * 4 * 3 =10 080 

5 de suite (pas as) * une couleur * paire en v cas N10 : 8 * 4 * 6 * 6 = 1 152  

5 de suite (pas as) * une couleur * paire en v cas non N10 : 8 * 4 * 6 * 3 * 18 = 10 368

5 de suite (pas as) * une couleur * paire non en v cas N 10 : 8 * 4 * 6 * 18 * 4 = 13 824 

5 de suite (pas as) * une couleur * paire non en v cas non N 10 paire hors couleur : 8 * 4 * 6 * 5 * 3   = 2 880

5 de suite (pas as) * une couleur * paire non en v cas non N 10 paire dans couleur : 8 * 4 * 6 * 5 * 3 * 4 * 3 = 34 560   

N9+ N10 = 86 604

Donc N9 = 67 836

 

N8 + N9 + N10 = 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 / 120 * 15 * 21 + 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 * 8 / 720 * 21 + 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 / 120 * 8 * 3 = 1 889 316

(la paire est dans la couleur et autre carte non couleur+  couleur de 6 + couleur de 5 et paire ailleurs d’une autre couleur)

donc N8 = 1 802 712

N7+ N9 + N10 = 8 * 1024 * 15 * 24 / 2 + 2 * 1024 * 15 * 28 / 2 + 9 * 1024 * 4 * 18 /2  + 8 * 1024 * 24 * 23 / 2 + 2 * 1024 * 28 * 27 / 2 = 5 271 552

(quinte non as et paire associé plus autre carte, quinte dont as paire associée et autre carte , quinte de 6, quinte non as et paire ailleurs, quinte as et paire ailleurs).

Donc N7 = 5 184 948

 

N6 + N7 + … + N10 = 13 * 6 * 48 * 44 * 40 * 36 * 32 / 120  = 63 258 624

Donc N6 = 56 184 360

 

N5 = 4 * 8 * 24 * 20 / 2 + 4 *  8 *  6 *  24  + 4 * 8 * 6 * 6 *  3 / 2 + 4 * 2 * 28 * 24 / 2 + 4 * 2 * 3 * 28 + 4 * 7 * 22 + 4 * 2 * 23 + 4 * 8  =18208    

Quinte couleur de 5  sans as reste à prendre parmi 30 cartes  (24 + 6)

Quinte couleur de 5 avec reste à prendre parmi 31 cartes (28 + 3=

Quinte couleur de 6 sans as et avec

Quinte couleur de 7

 

N3 ?

Il y a la quinte xyztu. Il y a une autre hauteur v et une autre w

7 de suite * un couleur * 2 libertés : 8 * 4 * ( 7 * 6 / 2 * 3 * 3 + 7 * 3 + 1 )= 8 * 4 * 211 = 6 752

6 de suite (as) * une couleur * 1 autre valeur * 2 libertés de couleur : 2 * 4 *  6  * 211 = 10 128

6 de suite (pas as) * une couleur * 1 autre valeur * 2 libertés de couleur : 7 * 4 * 5  * 211 = 29 540

5 de suite (as) * une couleur * 2 autres valeurs * 2 libertés : 2 * 4 * 7 * 6 / 2 * 211 = 35 448

5 de suite (pas as) * une couleur * 2 autres valeurs * 2 libertés : 8 * 4 * 6 * 5 / 2 * 211 = 101 280

Donc N3 + N5= 183 148

Donc N3 = 164 940

 

N3 + N4 + N5 = 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 / 120 * 24 * 23 / 2 + 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 * 8 / 720 * 21 + 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 / 720 / 7 = 1 571 856

Donc N4 = 1 388 708

 

N2+N3 + N5 = 8 * 1024 * 24 * 23 /24 + 2 * 1024 * 28 * 27 /2 + 7 * 1024 * 20 + 2 * 1024 * 24 + 8 * 1024 = 1 163 264

Donc N 2 = 980 116

 

N1 +… + N5 = 52 * 48 * 44 * 40 * 36 * 32 * 28 / 720 / 7 = 28 114 944

Donc N1 = 25 562 972

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commentaires

D
<br /> <br /> Bonjour,<br /> <br /> <br /> pour N10 je trouve :<br /> <br /> <br /> une quinte couleur + une carte formant paire (l'autre carte pas de la même couleur)<br /> <br /> <br /> 40*5*3*24 = 14 400<br /> <br /> <br /> nous semblons d'accord<br /> <br /> <br /> une quinte couleur sèche + une paire sèche<br /> <br /> <br /> 40*3*2/2*8 = 960<br /> <br /> <br /> une quinte couleur + une carte formant paire + une carte de la même couleur<br /> <br /> <br /> pour les hauteurs as :<br /> <br /> <br /> 4*5*3*8 = 480<br /> <br /> <br /> pour les autres<br /> <br /> <br /> 36*5*3*7 = 3780<br /> <br /> <br /> sous-total = 4260<br /> <br /> <br /> N10 = 19 620<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> <br />
Répondre
T
<br /> <br /> N10 : quinte couleur + paire sèche.<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> I Révision de mon calcul.<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> 4*8*15*30 = 14400<br /> <br /> <br /> C’est le cas des quintes couleurs de 5 sans as (ne commençant ni par as ni par 10). Il y en a 4*8.<br /> <br /> <br /> Le 15 signifie que je suppose la paire formée avec une des cartes de la quinte. Alors le 30 c’est les 32 autres cartes d’autres<br /> valeurs moins les 2 cartes qui étendent la quinte couleur à 6 <br /> <br /> <br /> Mais en faisant cela j’ai oublié le cas où la paire est formée avec les 2 autres cartes. Il faut ajouter<br /> <br /> <br /> 4*8*(24*2/2 + 6*3) =1344<br /> <br /> <br /> Cela correspond au cas où les 2 cartes de la paire sont d’une autre couleur (3*8 cartes possibles pour la première et 2 ensuite) plus le cas où<br /> l’une des cartes de la paire est de la même couleur<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> 4*2*15*31 = 3720<br /> <br /> <br /> C’est le cas des quintes couleurs de 5 avec as : 2*4<br /> <br /> <br /> Le 15 signifie que je suppose la paire formée avec une des cartes de la quinte. Alors le 31 c’est les 31 autres valeurs moins la<br /> carte qui étendent la quinte couleur à 6 <br /> <br /> <br /> Mais en faisant cela j’oublie le cas où la paire est formée avec les 2 autres cartes. Il faut ajouter<br /> <br /> <br /> 4*2*(24*2/2 + 7*3) = 360<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> 4*9*18 = 648<br /> <br /> <br /> C’est le cas des quintes couleurs à 6 cartes.<br /> <br /> <br /> La dernière carte est à prendre parmi 6*3<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> Le total fait 20472<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> II Commentaire du commentaire.<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> pour N10 je trouve :<br /> <br /> <br /> une quinte couleur + une carte formant paire (l'autre carte pas de la même<br /> couleur)<br /> <br /> <br /> 40*5*3*24 = 14 400<br /> <br /> <br /> nous semblons d'accord<br /> <br /> <br /> En fait on ne calcul pas la même chose pour ce résultat. Mais OK.<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> une quinte couleur sèche + une paire sèche<br /> <br /> <br /> 40*3*2/2*8 = 960<br /> <br /> <br /> Soit.<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> Jusqu’ici on a calcul tous les cas sauf ceux où l’on a 6 cartes de la même couleur.<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> une quinte couleur + une carte formant paire + une carte de la même<br /> couleur<br /> <br /> <br /> Je réfère la formulation « une quinte couleur + une carte de la même couleur + une carte formant paire ».<br /> <br /> <br /> pour les hauteurs as :<br /> <br /> <br /> 4*5*3*8 = 480<br /> <br /> <br /> pour les autres<br /> <br /> <br /> 36*5*3*7 = 3780<br /> <br /> <br /> sous-total = 4260<br /> <br /> <br /> D’après ce que je comprends, c’est là qu’il y a une triple erreur.<br /> <br /> <br /> - Le « 5*3 » dans les 2 cas suppose que la paire se fait avec la quinte couleur. Or, ce n’est pas obligé.<br /> <br /> <br /> - Il y a 8 quintes couleurs contenant un as et non 4 (et 32 et non 36 qui ne contiennent pas d’as).<br /> <br /> <br /> - Avec « 8 », le premier calcul ne met pas de coté les quintes couleurs « à 6 cartes ». Et on les compte alors 2<br /> fois.<br /> <br /> <br /> Un bon calcul est :<br /> <br /> <br /> Les quintes couleur de 5 sans as + les quintes couleur de 5 avec as + les quintes couleurs de 6. Dans tous les cas la 7ème carte (qui<br /> forme la paire) est à prendre parmi 18.<br /> <br /> <br /> 4*8*6*18 + 4*2*7*18 + 4*9 *18 = 5112<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> Le total fait bien 20472<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> A la relecture, je m’aperçois que mon texte initial comporte d’autre erreurs. Je vais le reprendre.<br /> <br /> <br /> <br />
D
<br /> <br /> Bonjour,<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> merci pour cet article rare et complet.<br /> <br /> <br /> Je suis entrain de construire un tableur et je ne trouve pas le même résultat pour N20 :<br /> <br /> <br /> il y a 10 suites possibles pour chacune des 4 couleurs<br /> <br /> <br /> la première paire peut avoir 5 valeurs et 3 couleurs<br /> <br /> <br /> la deuxième paire 4 valeurs et 3 couleurs<br /> <br /> <br /> la première et la deuxième paire peuvent être interverties (/2)<br /> <br /> <br /> soit 4*10*5*3*4*3/2 = 3600<br /> <br /> <br /> qu'en pensez-vous ?<br /> <br /> <br /> <br />
Répondre
T
<br /> <br /> C'est exact<br /> <br /> <br /> Au lieu de 4*10*15*10/2 que j'ai indiqué c'est 4*10*15*12/2.<br /> <br /> <br /> (après la quinte flush, le première paire est une carte à prendre parmi 15 et la seconde paire est une carte à prendre parmi 12 et non 10).<br /> <br /> <br /> Je vais corriger. J'espère qu'il n'y a pas d'autres erreurs. Mais n'hésitez pas à me les signaler ;)<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> <br />

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