Cet article contient beaucoup d'erreurs. Il est repris dans l'article du 21 avril 2010.
Mes enfants et moi avons « appris » le poker et plus particulièrement le « texas hold em ». Il est intéressant d’examiner les probabilités associées. Rappel, il s’agit de faire une « main » de 5 cartes avec 7 cartes. Le jeu est de 52 cartes. Les jeux sont : « rien », « une paire », « deux paires », « un brelan », « une quinte », « une couleur », « un plein » « un carré » et une « quinte couleur ».
Première question : combien y a-t-il de façons d’obtenir 7 cartes ?
C’est une simple combinaison, l’ordre d’apparition des 7 cartes n’intervient pas. On a donc le nombre N = 52 * 51 * 50 * 49 * 48 *47 *46 / (1 * 2 * 3 *4 * 5 * 6 * 7) = 133 784 560.
Ce nombre sera le « diviseur » pour obtenir les probabilités d’apparition des différentes « mains ».
Avant de lancer le calcul, on va chercher à classer les configurations différentes pour « 7 cartes ». Pour cela on va commencer par s’intéresser aux paires.
Avec 7 cartes, on a soit aucune paire, soit une paires, soit 2 paires (de différentes valeurs) soit 3 paires. Le dernier cas ne peut pas faire une main de 5 cartes mais c’est un configuration du tirage.
Passons au « groupe de 3 cartes de même valeur » (que l’on nommera « brelan » bien que là aussi on doive distinguer la configuration du tirage des 7 cartes de la main de 5 cartes) . Il peut y avoir un brelan (il y a une paire sous jacente). On peut aussi avoir un brelan et une paire (il y a donc 2 paires), un brelan et 2 paires (il a donc 3 paires) et 2 brelans (2 paires).
Avec le « carré », on a soit un carré (et donc un « brelan ») soit un carré et une paire (2 paires) soit un carré et un brelan (2 paires).
On voit que l’on peut partitionner l’ensemble des 133 millions et quelques de configurations et différents sous-ensembles.
A : Rien
B : Une paire « sèche »
C : Un brelan « sec »
D : Un carré « sec »
E : 2 paires « sèches »
F : Un brelan et une paire
G : 2 brelans
H : Un carré et une paire
I : Un carré et un brelan
J : 3 paires
K : Un brelan et 2 paires.
A cela il faut ajouter les cas des couleurs et des quintes. Ces cas « monopolisent » 5 cartes qui ne jouent pas dans ces « histoires de paires ». Il reste donc 2 cartes disponibles. Donc il ne peuvent se conjuguer qu’avec les configurations A, B, C et E.
Par contre, les mélanges des cas « couleur » et « quinte » sont plutôt « libres ». On se retrouve donc avec la liste de configurations suivantes :
Dérivant de A :
1 : rien
2 : Quinte « sèche »
3 : Couleur et quinte ‘mais pas quinte couleur)
4 : Couleur « sèche »
5 : quinte couleur « sèche »
Dérivant de B
6 : Paire « sèche »
7 : quinte et paire
8 : couleur et paire
9 : Couleur quinte et paire (mais pas quinte couleur)
10 : quinte couleur et paire.
Dérivant de C
11 ; couleur et brelan
12 : brelan « sec »
13 : couleur, quinte et brelan (mais pas quinte couleur). Un examen plus précis montre que ce cas n’est pas possible.
14 : quinte couleur et brelan.
15 : quinte et brelan
D. 16 : carré
Dérivant de E
17 : 2 paires
18 : Quinte et 2 paires
19 : couleur quinte et 2 paires (mais pas quinte couleur). Ce n’est pas possible
20 : quinte couleur et 2 paires
21 : couleur et 2 paires
F. 22 : brelan + paire
G. 25 : 2 brelans
H. 23 : carré + paire
I. 24 : carré + brelan
J. 26 : 3 paires
K. 27 : brelan + 2 paires.
Dénombrons !
N27 = 13 * 4 * 12 * 6 * 11 *6 / 2 = 123 552
N26 = 13 * 6 * 12 * 6 * 11 * 6 * 40 / 6 = 2 471 040
N25 = 13 *4 * 12 * 4 * 44 / 2 = 54 912
N24 = 13 * 12 * 4 = 624
N23 = 13 * 12 *6 * 44 = 41 184
N22 = 13 * 4 * 12 * 6 * 44 * 40 / 2 = 3 294 720
N20 = 4 * 10 * 15 * 12 / 2 = 3 600
N20 + N21 = 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 / 120 * 15 * 11 / 2 = 424 710
Donc N21= 421 110
N18 +N20 = 10 * 4^5 *15 * 11 / 2 / 6 = 140 800
Donc N18 = 138 400
N17 + N18 + N20 + N21 = 13 * 6 * 12 * 6 / 2 * 44 *40 * 36 / 6 = 29 652 480
Donc N17 = 29 089 370
N16 = 13 * 48 * 44 * 40 / 6 = 183 040
N14 = 4 * 10 * 5 * 3 = 600
N14 + N15 = 10 * 4^5 * 5 * 3 / 3 = 51 200
Donc N14 = 50 600
N11 + N14 = 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 / 120 * 5 * 3 = 77 220
Donc N11 = 76 620
N11 + N12 + N14 + N15 = 13 *4 * 48 * 44 * 40 * 36 / 24 = 6 589 440
Donc N12= 6 461 620
N10 = 4* 8 * 15 * 30 + 4 * 2 * 15 * 31 + 4 * 9 * 18 = 18768
N9 ?
Il y a la quinte xyztu. Il y a une autre hauteur v. On a le cas où v est rattaché à xyztuv et celui où il ne l’est pas. La paire se forme avec xyztu ou bien avec v. La couleur est nécessairement avec xyztu v.
6 de suite * une couleur * la paire * une liberté de couleur : 9 * 4 * 18 * 17 / 2 = 5 508
5 de suite (as) * une couleur * paire en v cas N10 : 2 * 4 * 7 * 6 = 336
5 de suite (as) * une couleur * paire en v cas non N10 : 2 * 4 * 7 * 3 * 18 = 3 024
5 de suite (as) * une couleur * paire non en v cas N 10 : 2 * 4 * 7 * 18 * 4 = 4 032
5 de suite (as) * une couleur * paire non en v cas non N 10 paire hors couleur : 2 * 4 * 7 * 5 * 3 = 840
5 de suite (as) * une couleur * paire non en v cas non N 10 paire dans couleur : 2 * 4 * 7 * 5 * 3 * 4 * 3 =10 080
5 de suite (pas as) * une couleur * paire en v cas N10 : 8 * 4 * 6 * 6 = 1 152
5 de suite (pas as) * une couleur * paire en v cas non N10 : 8 * 4 * 6 * 3 * 18 = 10 368
5 de suite (pas as) * une couleur * paire non en v cas N 10 : 8 * 4 * 6 * 18 * 4 = 13 824
5 de suite (pas as) * une couleur * paire non en v cas non N 10 paire hors couleur : 8 * 4 * 6 * 5 * 3 = 2 880
5 de suite (pas as) * une couleur * paire non en v cas non N 10 paire dans couleur : 8 * 4 * 6 * 5 * 3 * 4 * 3 = 34 560
N9+ N10 = 86 604
Donc N9 = 67 836
N8 + N9 + N10 = 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 / 120 * 15 * 21 + 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 * 8 / 720 * 21 + 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 / 120 * 8 * 3 = 1 889 316
(la paire est dans la couleur et autre carte non couleur+ couleur de 6 + couleur de 5 et paire ailleurs d’une autre couleur)
donc N8 = 1 802 712
N7+ N9 + N10 = 8 * 1024 * 15 * 24 / 2 + 2 * 1024 * 15 * 28 / 2 + 9 * 1024 * 4 * 18 /2 + 8 * 1024 * 24 * 23 / 2 + 2 * 1024 * 28 * 27 / 2 = 5 271 552
(quinte non as et paire associé plus autre carte, quinte dont as paire associée et autre carte , quinte de 6, quinte non as et paire ailleurs, quinte as et paire ailleurs).
Donc N7 = 5 184 948
N6 + N7 + … + N10 = 13 * 6 * 48 * 44 * 40 * 36 * 32 / 120 = 63 258 624
Donc N6 = 56 184 360
N5 = 4 * 8 * 24 * 20 / 2 + 4 * 8 * 6 * 24 + 4 * 8 * 6 * 6 * 3 / 2 + 4 * 2 * 28 * 24 / 2 + 4 * 2 * 3 * 28 + 4 * 7 * 22 + 4 * 2 * 23 + 4 * 8 =18208
Quinte couleur de 5 sans as reste à prendre parmi 30 cartes (24 + 6)
Quinte couleur de 5 avec reste à prendre parmi 31 cartes (28 + 3=
Quinte couleur de 6 sans as et avec
Quinte couleur de 7
N3 ?
Il y a la quinte xyztu. Il y a une autre hauteur v et une autre w
7 de suite * un couleur * 2 libertés : 8 * 4 * ( 7 * 6 / 2 * 3 * 3 + 7 * 3 + 1 )= 8 * 4 * 211 = 6 752
6 de suite (as) * une couleur * 1 autre valeur * 2 libertés de couleur : 2 * 4 * 6 * 211 = 10 128
6 de suite (pas as) * une couleur * 1 autre valeur * 2 libertés de couleur : 7 * 4 * 5 * 211 = 29 540
5 de suite (as) * une couleur * 2 autres valeurs * 2 libertés : 2 * 4 * 7 * 6 / 2 * 211 = 35 448
5 de suite (pas as) * une couleur * 2 autres valeurs * 2 libertés : 8 * 4 * 6 * 5 / 2 * 211 = 101 280
Donc N3 + N5= 183 148
Donc N3 = 164 940
N3 + N4 + N5 = 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 / 120 * 24 * 23 / 2 + 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 * 8 / 720 * 21 + 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 / 720 / 7 = 1 571 856
Donc N4 = 1 388 708
N2+N3 + N5 = 8 * 1024 * 24 * 23 /24 + 2 * 1024 * 28 * 27 /2 + 7 * 1024 * 20 + 2 * 1024 * 24 + 8 * 1024 = 1 163 264
Donc N 2 = 980 116
N1 +… + N5 = 52 * 48 * 44 * 40 * 36 * 32 * 28 / 720 / 7 = 28 114 944
Donc N1 = 25 562 972
