Lorsque l’on joue au poker (texas hold em), on a connaissance de 5 cartes. Il y en 47 autres. Il va « sortir » 2 autres cartes. La « chance » d’avoir un bon jeu dépend des cartes que l’on a en main.

Pour obtenir une couleur.

Il est impossible d’avoir 5 cartes de couleurs différentes. Il n’y a que 3 cas.

Le cas où l’on a déjà un couleur. Cela signifie que les cartes étalées sont de la même couleur. Là, ce qui devient embêtant c’est que les autres l’obtiennent aussi.

Le cas où l’on a 4 cartes de la même couleur. Il en manque une. La probabilité de l’obtenir est Pcl1 = 9/47 + 9 /46 = 38,71%

Le cas où l’on a 3 cartes de la même couleur. Il en faut encore 2. La probabilité de l’obtenir est Pcl2 = 10/47 * 9/46 = 4, 16%

Pour obtenir une quinte.

Là encore on peut déjà l’avoir. Sinon, on peut avoir besoin d’une ou de 2 cartes.

Si l’on a besoin d’une carte d’un des 2 cotés (cela signifie que l’on a une « pré-sui »t de 4 cartes sans as), la probabilité est Pqu1 = 8/47 + 8/46 = 34,41%

Si l’on besoin d’une carte d’un coté ou « au milieu », la probabilité est Pqu2 = 4/47 + 4 /46 = Pqu1/2 = 17,21%

Si l’on a besoin de 2 cartes (extension libre des 2 cotés), la probabilité est Pqu3 = 8/47 * 8/46 = 2,96%.

En ce qui concerne la série des paires, brelan, full et carré, cela « va ensemble ». Dans les calculs, afin d’alléger les probabilités des mains plus faibles incluent les cas « plus forts ».

Cas a : rien au départ

Alors, impossible d’avoir un carré ou un full.

Pbr1 = 15/47 * 2/46 = 1,38%

P2p1 = 15 /47 * 12/46 = 8,32%

Pp (incluant les précédents) = 15/47 + 15/46 = 64,52%

Cas b : une paire au départ

Pcarré1 = 2/47*1/46 = 0,09%

Pfu 1 = 2/47*9/46 + 9/47*2/46 = 1,67%

Pbr2 = 2/47 +  2 /46 + 6/47*2/46 = 9,16%

P2p2 = 9/47 + 9/46 + 32/47*3/46 = 43,15%

Cas c : 2 paires au départ

Pcarré2 = 4/47 * 1/46 = 0,18%

Pfu2 = 4/47 + 4/46 + 6/47*2/46 = 17,76 %

Pbr3 = 4/47 + 4/46  +4/47*2/46 = 17,57%

Cas d : un brelan au départ

Pcarré3 = 1/47 + 1 /46 = 4,30%

Pfu3 = 6/47 + 6/46 + 40/47*3/46 = 31,36 %

Cas e : un full au départ

Pcarré4 = 1/47+ 1 /46 = 4,30%

Mais tout ceci n’est pas la partie essentiel du problème. Au poker, il ne s’agit pas tant d’avoir un bon jeu que d’avoir un meilleur jeu que l’adversaire.

A ce titre, une fois les 5 cartes exposées, ces probabilités peuvent aussi servir pour estimer (en faisant abstraction de l’aspect psychologique liées aux enchères) la probabilité de la main « finale » de l’adversaire. On est en effet dans le même cas de figure (le calcul diffère un peu car les cartes qu’il a en main sont à prendre parmi 45).