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15 janvier 2007 1 15 /01 /janvier /2007 09:43

Depuis que j’ai découvert la logique formelle et notamment la démonstration du théorème de Goedel, je suis assez fasciné par cela. C’était déjà il y a quelques années. 

Ici, je me propose de «méditer » sur les fondamentaux de l’approche formelle. 

A la base, cette approche « oublie » le sens (= la signification, la sémantique) des énoncés. Elle ne s’intéresse qu’aux énoncés et plus précisément à leur forme. 

Ces énoncés sont construits à l’aide de signe.

Les signes appartiennent à un ensemble : le lexique (en théorie, on peut fournir cette liste, elle est finie). 

Un énoncé est une suite finie de signes. 

Il existe une grammaire. C'est-à-dire un ensemble de règle qui permette de vérifier la validité (grammaticale) de l’énoncé. Ce problème de grammaire n’est pas essentiel. 

Il existe aussi des règles d’équivalence. Il est possible de transformer les signes d’une partie d’énoncé en une autre partie. C’est par exemple l’application des règles d’associativité, de distributivité, de dérivation,… Pour la logique formelle, c’est une notion fondamentale. A savoir, que des énoncés différents sont équivalents. Cela n’est généralement possible (ou pertinent) que sur les énoncés valides. La grammaire est en quelque sorte le « cahier de charges » des énoncés. 

On note que les règles d’équivalence fonctionnent dans les 2 sens. Il n’y a pas de raison d’en privilégier un. Un énoncé peut sans doute avoir beaucoup d’équivalents. On cherche généralement à le « simplifier ». Cette notion de simplification sort de ce cadre formalisme. En effet, simplifier ce n’est pas nécessairement être plus court, c’est être plus facile à comprendre : et là on introduit le sens. 

L’ensemble des énoncés équivalents peuvent former une classe d’équivalence. 

On a jusqu’ici.

-          L : lexique =ensemble des signes. Cet ensemble est fini.

-          SL : énoncés  = ensemble des suites finies de signes de L. Cet ensemble est généralement infini.

-          G : grammaire = ensemble de règle de validité des énoncés. Cet ensemble est fini.

-          SL/G : ensemble des énoncés de SL valides selon G. Cet ensemble est généralement infini.

-          R : ensemble des règles d’équivalence. R doit être cohérent avec G. Cet ensemble est fini.

-          (SL/G)R : ensemble des classes d’équivalence selon R des énoncés SL valides selon G.

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