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16 janvier 2007 2 16 /01 /janvier /2007 08:51

Suite de l’examen de « l’approche formelle ». Entrée en scène de « l’implication ». 

Outre l’équivalence d’énoncé, un autre concept est l’implication. Donnons un exemple (écrit « simplement »).

E1 : « Tout nombre entier se terminant par 2 est pair »

E2 : « 2 est pair ».

On « sent » que E1 => E2 mais qu’ils ne sont pas équivalents. En d’autre terme, E2 est moins fort que E1. Toujours dans une optique de simplification, on peut « négliger » E2 si l’on a E1. Par là même, on « met de coté » une infinité d’énoncé du même genre. Quelle réduction !

Comment traiter formellement cela ? 

L’implication est une relation d’ordre partiel. Elle forme un réseau sur l’ensemble des énoncés.  Est-il possible de simplifier ce réseau grâce à la transitivité ?

Oui mais pas de façon unique. Il est en effet possible d’enlever les « grosses  implications » qui se déduisent de plusieurs petites. Mais il n’y a pas de garantie d’aboutir au même résultat selon la démarche. Ce procédé ne se termine généralement pas en un temps fini.

Dans le cas général, on n’est pas assuré de pouvoir construire un arbre hiérarchique (A=>B et C=>B  sans lien entre A et C est un situation possible). 

Autre point. Dans l’exemple, il faut pouvoir interpréter E2. De « 2 », il faut inférer « 2 est un nombre entier se terminant par 2 ». On peut inférer bien d’autre chose, mais c’est celle-ci qui nous intéresse dans ce contexte.  « 2 est un nombre entier se terminant par 2 » est une tautologie. Et là, il faut aussi introduire un concept dont je n’avais pas besoin jusqu’ici : la notion de vérité des énoncés. 

Il existe en effet un ensemble : les « énoncés supposés vrais ». Cet ensemble inclut ce que l’on appelle les définitions. « 2 est un nombre entier se terminant par 2 » est une tautologie (vrai donc) car cela provient de la définition du signe « se termine par ». L’emploi des signes du français  pollue la description. Passons à une notation plus rigoureuse. 

E1 : QUELQUESOIT n APPARTIENT N Fin(n) = 2 => Paire(n) = VRAI.

E2 : Paire(2) = VRAI.

QUELQUESOIT, APPARTIENT , VRAI sont des signes.

Paire est un signe qui suit la grammaire d’une fonction. Il faut écrire Paire(n) avec n entier.

Fin est aussi un signe de fonction. Il renvoie le dernier chiffre du nombre en paramètre. 

L’inférence à faire est Fin(2) = 2. Qu’est-ce qui permet de dire cela ?

Ce n’est pas le lexique. Fin est dans le lexique mais pas son fonctionnement.

Ce n’est pas la grammaire. Elle valide « Fin(2) = 2 » et invalide « Fin(2) =2 » par exemple. Mais ne dit pas « « Fin(2) = 2 » = VRAI »

Ce n’est pas les règles d’équivalence.

C’est le dernier élément : les énoncés supposés vrais.

En l’occurrence, cela provient de la définition de « Fin ».

On remarque au passage que l’on se place en base 10. Il faudrait dire « Fin10 ».

L’énoncé « QUELQUESOIT n APPARTIENT N Fin(n) = Reste (n,10) » constitue la définition de Fin et il est donc supposé VRAI.  « Reste » est la fonction qui donne la reste de la division euclidienne.

Avec cela il faut encore avoir :

« 2 APPARTIENT N »

« Reste (2,10) = 2 »

La transitivité de l’égalité » joue aussi.

Il faut encore définir « RESTE » :

L’énoncé « QUELQUESOIT a APPARTIENT N QUELQUESOIT b APPARTIENT N* ILEXISTEUNSEUL q APPARTIENT N  ILEXISTEUNSEUL r APPARTIENT N, a = b * q + r ET r < b. COMPLEMENT : q =  QUOTIENT(a,b) ET r =  RESTE (a,b) » qui est la division euclidienne fournit la définition de « RESTE ». Cet énoncé est VRAI. On pourrait encore remonter la démonstration, la première partie se déduit des axiomes de l’arithmétique.

On voit que même sur cet exemple très simple, effectuer ce travail formel est assez long. 

On peut retenir 3 choses.

1 D’abord, le lexique, est loin d’être  élémentaire. On a une première liste :

QUELQUESOIT

ILEXISTEUNSEUL

APPARTIENT

N

(

)

>

=

=>

N*

RESTE

QUOTIENT

PAIRE

FIN

VRAI

2

10

La notion de « variable » (n, a, b, p, q,….). 

2 Des notions étranges

La notion de variable. Le symbole utilise n’importe pas, il est contextualisé. Cela mériterait d’être approfondi. Pour construire quelquechose d’intéressant, il semble incontournable d’utiliser des énoncés généraux (« il n’y a de science que du général ») et donc le « QUELQUESOIT » et donc cette notion de variable.

La notion de VRAI. C’est à la fois une propriété des énoncés et un élément du lexique que l’on peut trouver dans les énoncés. Il semble impossible de séparer les deux.  

3 Pas de sémantique ?

On a effectué un travail formel.

On s’aperçoit toutefois, que ce travail nécessite de respecter la définition des éléments du lexique. Par exemple « l’appartenance à N ».

On utilise effectivement le sens (la signification) de ce lexique.

On est aux limites de la démarche formelle.

On reste dans cette démarche si cette signification est « mécanique », automatisable (= si elle peut rester formelle).

On voit que c’est la notion d’ensemble qui est en jeu : son contenu (APPARTIENT), prendre un élément au hasard (QUELQUESOIT). Le « ILEXISTE » n’est pas constructif.

Enfin, il y a au moins une partie où la sémantique reprends ses droits : c’est le passage « au langage naturel ».

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