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22 octobre 2007 1 22 /10 /octobre /2007 09:32

De façon analogue au couple « Terre-Lune », on s’intéresse au couple Soleil-Jupiter. 

Contrairement au cas Terre / Lune, Jupiter n’est pas seule à gravier autour. Mais c’est de loin la plus massive, et on peut la privilégier. Toutefois, la justesse de la démarche est bien moindre.  

 

On fait les hypothèses approximatives suivantes : 

Jupiter décrit une trajectoire circulaire autour du Soleil. 

Les masses de Jupiter et du Soleil sont constantes. 

Le Soleil tourne sur lui-même. 

On néglige la rotation de Jupiter 

On suppose le couple « isolé ». 

On imagine que la distance Soleil-Jupiter ou la période de rotation du Soleil peut changer.  

 

Les constantes. 

Masse de Jupiter : m = 1,87 1027 kg. 

Masse du Soleil : M = 2 1030 kg. 

Constante de gravitation G = 6,64 10-11 Nm2/kg

Rayon du soleil r = 7E+8 m  

 

Première formule 

Pour une sphère solide, le moment d’inertie I = 0,4 M r2 

Pour le Soleil I = 0,4 Mr2 = 3,92 1047 kgm2 

 

Les variables. 

La distante Soleil-Jupiter : R. 

Actuellement R = 7,5E+11 m

- La vitesse angulaire de rotation du Soleil : w. Il tourne en 28 jours.  Actuellement, w =2pi/t = 2,6 10-6 rad/s  

 

Conservation du moment angulaire

 

Moment angulaire de Jupiter L1 = m v R 

Vitesse de Jupiter v = 2piR/T 

La période de Jupiter T est fournit par la version newtonnienne de la troisième loi de Kepler 

T2 = 4pi2 R3/ (G(m+M)) 

L1 = 2pi m R2/T = m (R G (m + M))1/2 

Moment angulaire du soleil. L2 = I w 

Conservation du moment angulaire total. Le système étant « isolé », aucun autre corps  ne peut « emporter » une partie du moment angulaire.L1+L2 = constante 

dL1 = -dL2 

On a dL1 =  m (G(m+M)/R)1/2 /2dR 

On a dL2 = I dw 

D’où une première équation : dw = - m (G(m+M)/R)1/2 /2I dR 

Si Jupiter s’éloigne, le Soleil ralentit. 

En application numérique (unité SI) pour R de départ dw = -2,96 10-5 dR 

 

 

Considération énergétique. 

 

On a les énergies suivantes 

 Energie potentiel de gravitation : E1. 

Energie cinétique de Jupiter : E2. 

Energie de rotation du Soleil : E3. 

On négligera l’énergie de rotation de Jupiter (faible rotation, faible moment d’inertie) et sa variation

E1 = -GMm/R 

E2 = ½ m v2 

Qui donne grâce à (v=2piR/T, T2 = 4pi2 R3/ (G(m+M))) 

E2 = mG(m+M)/2R 

E1 + E2 = mG(m-M)/2R 

Pour cette part, l’énergie augmente lorsque Jupiter s’éloigne (m-M etant négatif). 

E3 = ½ I w

Variation d’énergie dE = mG(M-m)/2R2 dR + Iw dw 

Soit dE = (G(M-m)/R2- w(G(m+M)/R)1/2 )m/2 dR 

On remarque que c’est indépendant de I (donc de r). 

En valeur numérique  dE/dR = -3,22 1025 J/m. 

Comme pour le couple Terre-Lune, c’est la variation de E3 (la rotation du soleil) qui est prépondérant. 

 

L’éloignement de Jupiter fournit de l’énergie : on a -3,22 1025 J par mètre.  

 

Rappel : l’énergie solaire absorbée par la Terre annuellement est ET = 3,9 E+24J.  

 

Science fiction.  

 

Si l’on parvenait à exploiter une fraction de cette énergie, on pourrait subvenir aux besoins de l’espèce humaine « sans toucher à la Terre ». 

Bon, je ne connais pas le début d’une idée permettant d’y parvenir.

 

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