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19 avril 2010 1 19 /04 /avril /2010 16:37

Dans mes errements sur le « réel », le « vrai », j’ai déjà distingué le « scientifique » du « non scientifique » et dans le premier cas le « mathématique » du non mathématique. J’en viens à un point illustratif, celui du théorème de Pythagore qui est généralement placé dans les mathématiques. Or, il me semble que c’est là une observation physique concernant les propriétés de l’espace qui nous entoure (qui se trouve être proche de l’euclidien).

Nota : il n’y a rien de péjoratif là dedans. On peut même considérer que relevant de la physique, la formule de Pythagore est plus utile concrètement que si c’était des pures mathématiques.

 

Théorème

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me

Une assertion démontrée à partir d’axiomes.

 

On trouve une démonstration du théorème de Pythagore là :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Pythagore

Les démonstrations se font à partir de construction « dans le monde réel » (ou dans le cas particulier de l’espace euclidien). C’est donc une observation de la physique.

 

En fait, en mathématique, la formule de Pythagore n’est pas un théorème mais un choix provenant des axiomes de la métrique choisis :

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9trique_(math%C3%A9matiques)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Norme_(math%C3%A9matiques)

 

 

Plus généralement, la « géométrie » que l’on classe habituellement dans la mathématiques est à découper en 2. Une part est purement mathématique mais l’autre part parle de « notre espace physique ».

Je ne pense pas que cela soit un détail. Si l’on en revient à Pythagore et à la notion de métrique, on voit que c’est la notion de « mesure de distance » qui est en cause. Comment mesure-t-on en pratique une distance dans le monde physique ?

Amorce de réponse : par un segment de droite concrétisé par une ficelle ou un rayon laser dont on prend des repères étalons (marque sur la ficelle, temps de transfert et/ou synchronisation de fréquence). On obtient alors un étalon de mesure supposé « parfait ». On peut :

-          Le multiplier

-          Le diviser par des puissances de 2 (avec une ficelle parfaite)

-          Recommencer autant de fois que l’on veut.

-          Le déplacer dans l’espace (translation et rotation).

Lorsque l’on cherche à mesurer la distance entre 2 points A et B, (en théorie) on tend un segment de droite (une ficelle) entre A et B et l’on cherche à savoir combien de fois on peut placer l’étalon de mesure (et ses subdivisions) en partant de A pour arriver à B. [0]

 

Que l’on commence par A ou par B est équivalent. C’est une réalité du monde physique (« évidente »). [1]

Que l’on déplace l’étalon ou que l’on déplace AB de façon rigide ne change pas le résultat (quoique qu’en physique relativiste c’est plus compliqué). Là encore, c’est une réalité du monde physique (« évidente elle aussi »). [2]

Les étalons de même longueur sont interchangeables si les étalons sont rigides, non élastiques, dans des conditions de température et de pression adéquates,…). C’est un constat d’expérience. [3] Etait-ce évident à l’avance ?

On constate aussi que le compas est un outil qui peut servir d’étalon secondaire. On peut tracer des cercles puis des angles droits (dans le plan). On constate alors l’équivalence des angles droits  dans tout l’espace (rien d’évident a priori). [4]

Et là on constate « par les mesures », la formule de Pythagore. Là ce n’était pas « évident », ne serait-ce que parce que la formule est légèrement compliquée. [5]

 

Voilà des constats « physiques ». Les mathématiques n’abordent pas la question de la même façon. La fonction distance d est donnée a priori sur un ensemble X « quelconque » (ce n’est pas nécessairement un espace géométrique encore moins euclidien), elle doit respectée certaines dispositions.

[1] est une propriété demandé à une métrique

Si on suppose d invariante par translation (ce qui suppose une opération d’addition dans X et permet de définir par la même des « droites » dans X donc aussi des « plans »), alors on a [0] et une partie de [2].

[3] semble hors scope.

La définition des angles droits peut se faire conformément à la construction à la règle et au compas (un cercle (x,r) est l’ensemble des points de x distant de r au sens d). Par contre l’équivalence [4] nécessite de définir la notion de rotation rigide qui n’est pas donnée a priori par X (au contraire, la nécessité de cette équivalence serait alors la définition). Donc c’est hors scope.

 

Au final, si la formule de Pythagore est vraiment un théorème, il faut que la métrique d en question soit telle d(x,y)^2 = d(x,z)^2 + d(z,y)^2 lorsque xzy forme un angle droit en z. soit encore pour tout x et tout y de X et z sur le cercle de diamètre xy. A ma connaissance, cela ne se déduit pas des propriétés de d. Le contre exemple « facile » vient de l’espace sphérique (dimension 2) et le triangle rectangle de 3 longueurs pi/2 (un pôle et 2 points de l’équateur à 90 degrés l’un de l’autre).

 

Et si l’on impose à X d’être un espace euclidien ?

Le fait d’être euclidien apporte [4] dans les axiomes.

Il est possible de définir sur X les transformations « rigides » qui conservent les distances et les angles droits.

L’arsenal intermédiaire euclidien (angles, aire des polygones, Thalès,…) arrive et la démonstration est valable (je n’ai pas vérifié, je fais confiance à plus de 2000 ans de math).

Dans un espace euclidien, toute métrique invariante par translation respecte la formule de Pythagore.

On reconnaitra que c’est loin d’être un théorème universel. Mais c’est un théorème.

   

 

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commentaires

M
<br /> Bonjour,<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> merci pour votre article.<br /> <br /> <br /> Une axiomatique sous le théorème de Pythagore vient d'être publiée en accès libre :<br /> <br /> <br /> http://mathemagique-com.blogspot.fr/2014/09/special-profs-une-plongee-sous-le.html<br /> <br /> <br /> Cordialement,<br /> <br /> <br /> -- <br /> <br /> <br /> Mateo.<br />
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