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21 avril 2010 3 21 /04 /avril /2010 10:58

[Ceci est un reprise corrective de l'article du 7 juillet 2009]

 

Mes enfants et moi avons « appris » le poker et plus particulièrement le « texas hold em ». Il est intéressant d’examiner les probabilités associées. Rappel, il s’agit de faire une « main » de 5 cartes avec 7 cartes. Le jeu est de 52 cartes. Les jeux sont : « rien », « une paire », «  deux paires », « un brelan », « une quinte », « une couleur », « un plein » « un carré » et une « quinte couleur ».

 

Première question : combien y a-t-il de façons d’obtenir 7 cartes ?

C’est une simple combinaison, l’ordre d’apparition des 7 cartes n’intervient pas. On a donc le nombre N = 52 * 51 * 50 * 49 * 48 *47 *46 / (1 * 2 * 3 *4 * 5 * 6 * 7) = 133 784 560.

Ce nombre sera le « diviseur » pour obtenir les probabilités d’apparition des différentes « mains ».

 

Avant de lancer le calcul, on va chercher à classer les configurations différentes pour « 7 cartes ». Pour cela on va commencer par s’intéresser aux paires.

Avec 7 cartes, on a soit aucune paire, soit une paires, soit 2 paires (de différentes valeurs) soit 3 paires. Le dernier cas ne peut pas faire une main de 5 cartes mais c’est un configuration du tirage.

Passons au « groupe de 3 cartes de même valeur » (que l’on nommera « brelan » bien que là aussi on doive distinguer la configuration du tirage des 7 cartes de la main de 5 cartes) . Il peut y avoir un brelan (il y a une paire sous jacente). On peut aussi avoir un brelan et une paire (il y a donc 2 paires), un brelan et 2 paires (il a donc 3 paires) et 2 brelans (2 paires).

Avec le « carré », on a soit un carré (et donc un « brelan ») soit un carré et une paire (2 paires) soit un carré et un brelan (2 paires).

On voit que l’on peut partitionner l’ensemble des 133 millions et quelques de configurations en différents sous-ensembles.

A : Rien

B : Une paire « sèche »

C : Un brelan « sec »

D : Un carré « sec »

E : 2 paires « sèches »

F : Un brelan et une paire

G : 2 brelans

H : Un carré et une paire

I : Un carré et un brelan

J : 3 paires

K : Un brelan et 2 paires.

 

A cela il faut ajouter les cas des couleurs et des quintes. Ces  cas « monopolisent » 5 cartes qui ne jouent pas dans ces « histoires de paires ». Il reste 2 cartes disponibles. Donc il ne peuvent se conjuguer qu’avec les configurations A, B, C et E. Par contre, les mélanges des cas « couleur » et « quinte » sont « libres ». On se retrouve donc avec la liste de configurations suivantes :

 

Dérivant de A :

1 : rien

2 : Quinte « sèche »

3 : Couleur et quinte (mais pas quinte couleur)

4 : Couleur « sèche »

5 : quinte couleur « sèche »

 

Dérivant de B

6 : Paire « sèche »

7 : quinte (sans couleur) et paire

8 : couleur (sans quinte) et paire

9 : Couleur quinte et paire (mais pas quinte couleur)

10 : quinte couleur et paire.

 

Dérivant de C

11 ; couleur (sans quinte) et brelan

12 : brelan « sec »

13 : couleur, quinte et brelan (mais pas quinte couleur). Un examen plus précis montre que ce cas n’est pas possible.

14 : quinte couleur et brelan.

15 : quinte (sans couleur) et brelan

 

D. 16 : carré

 

Dérivant de E

17 : 2 paires

18 : Quinte (sans couleur) et 2 paires

19 : couleur quinte et 2 paires (mais pas quinte couleur). Ce n’est pas possible

20 : quinte couleur et 2 paires

21 : couleur (sans quinte) et 2 paires

 

F. 22 : brelan + paire

G. 25 : 2 brelans

H. 23 : carré + paire

I. 24 : carré + brelan

J. 26 : 3 paires

K. 27 : brelan + 2 paires.

 

Dénombrons !

 

N27 = 13 * 4 * 12 * 6 * 11 *6 / 2 = 123 552

N26 = 13 * 6 * 12 * 6 * 11 * 6 * 40 / 6 = 2 471 040

N25 = 13 *4 * 12 * 4 * 44 / 2 = 54 912

N24 = 13 * 12 * 4 = 624

N23 = 13 * 12 *6 * 44 = 41 184

N22 = 13 * 4 * 12 * 6 * 44 * 40 / 2 = 3 294 720

 

N20 = 4 * 10 * 15 * 12 / 2 = 3 600

N20 + N21 = 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 / 120 * 15 * 12 / 2 = 463 320

Donc N21= 459 720

N18 +N20 = 10 * 4^5 *15 * 12 / 2 / 4 = 230 400

A cause des 2 paires, chaque quinte est comptée 4 fois.

Donc N18 = 226 800

N17 + N18 + N20 + N21 =  13 * 6 * 12 * 6 / 2 * 44 *40 * 36 / 6 = 29 652 480

Donc N17 = 28 962 360

 

N16 = 13 * 48 * 44 * 40 / 6 = 183 040

 

N14 = 4 * 10 * 5 * 3 = 600

N14 + N15 = 10 * 4^5 * 5 * 3 / 3 = 51 200

Il faut diviser par 3 car chaque main a « 3 lectures ».

Donc N15 = 50 600

N11 + N14 = 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 / 120 * 5 * 3 = 77 220

Donc N11 = 76 620

N11 + N12 + N14 + N15 = 13 *4 * 48 * 44 * 40 * 36 / 24 = 6 589 440

Donc N12= 6 461 620

 

N10 = 4*8*15*30 + 4*8*(24*2/2 + 6*3) + 4*2*15*31 + 4*2*(24*2/2 + 7*3) + 4*9*18 = 20 472.

 

Le calcul de N9 passe par celui de N9 + N10. Il y a la quinte xyztu. Il y a une autre hauteur v. On a le cas où v est rattaché à xyztuv et celui où il ne l’est pas. La paire se forme avec xyztu ou bien avec v. La couleur est nécessairement avec xyztu v (avec 0 ou une exception).

Quinte couleur à 6 (inclus dans N10) et une paire : 9 * 4 * 18 = 648

6 de suite, dont couleur de 5 et paire hors couleur : 9 * 4 * 6 * 3 * 2 / 2 = 648

6 de suite, dont couleur de 5 et paire avec carte de la couleur : 9 * 4 * 6 * 3 * 5 * 3 =  9720

5 de suite (as) * une couleur  (de 5 ou 6) * paire en v cas N10 : 2 * 4 * 28*3/2 = 336

5 de suite (as) * une couleur * paire en v cas non N10 (donc un « v » est dans la couleur) : 2 * 4 * 7 * 3 * 5 * 3 = 2520

5 de suite (as) * une couleur (de 5 ou 6) * paire non en v cas N10 : 2 * 4 * 28 * 15 = 3360

5 de suite (as) * une couleur * paire non en v cas non N10 paire hors couleur (donc v est dans la couleur) : 2 * 4 * 7 * 5 * 3 *2/2 = 840

5 de suite (as) * une couleur * paire non en v cas non N10 paire dans couleur : 2 * 4 * 7 * 5 * 3 * 4 * 3 =  10 080

5 de suite (pas as) * une couleur * paire en v cas N10 : 8 * 4 * 24 * 3/2 =  1152

5 de suite (pas as) * une couleur * paire en v cas non N10 : 8 * 4 * 6 * 3 * 5 * 3 = 8 640

5 de suite (pas as) * une couleur * paire non en v cas N 10 : 8 * 4 * 24 * 15 =  11520

5 de suite (pas as) * une couleur * paire non en v cas non N 10 paire hors couleur : 8 * 4 * 6 * 5 * 3 *2/2  = 2 880

5 de suite (pas as) * une couleur * paire non en v cas non N 10 paire dans couleur : 8 * 4 * 6 * 5 * 3 * 4 * 3 =  34 560  

N9+ N10 = 86904

Donc N9 = 66432

 

N8 + N9 + N10 = 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 / 120 * 15 * 24 + 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 * 8 / 720 * 18 + 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 / 120 * 8 * 3 *2/2 = 2 100 384

(la paire est dans la couleur et autre carte non couleur + couleur de 6 + couleur de 5 et paire ailleurs d’une autre couleur)

donc N8 = 2 013 480

 

N7+ N9 + N10 = 8 * 1024 * 15 * 24 / 2 + 2 * 1024 * 15 * 28 / 2  + 8 * 1024 * 24 * 3 / 2 + 2 * 1024 * 28 * 3 / 2 + 9 * 4096 * 18 /2 = 2 617 344

(quinte non as et paire associé plus autre carte, quinte dont as paire associée et autre carte,  quinte non as et paire ailleurs, quinte as et paire ailleurs, quinte de 6).

Donc N7 = 2 530 440

 

N6 + N7 + N8 + N9 + N10 = 13 * 6 * 48 * 44 * 40 * 36 * 32 / 120  = 63 258 624

Donc N6 = 58 627 800

 

N5 = (4 * 8 * 24 * 20 / 2 + 4 *  8 *  6 *  24  + 4 * 8 * 6 * 3 / 2) + (4 * 2 * 28 * 24 / 2 + 4 * 2 * 3 * 28) + 4 * 7 * 22 + 4 * 2 * 23 + 4 * 8  =16 768    

Quinte couleur de 5 sans as reste à prendre parmi 30 cartes  (24 + 6)

Quinte couleur de 5 avec as reste à prendre parmi 31 cartes (28 + 3)

Quinte couleur de 6 sans et avec as 

Quinte couleur de 7

 

N3  s’obtient par N3 + N5. Il y a la quinte xyztu. Il y a une autre hauteur v et une autre w. Il y a toujours 2 libertés de couleur sur les 7. Il y a le cas de la couleur à 5, à 6 et à 7. L = 7 * 6 /2 * 3 * 3 + 7 * 3 + 1 = 211.   

7 de suite * un couleur * 2 libertés de couleur :  8 * 4 * 211 = 6 752

6 de suite (as) * une couleur * 1 autre valeur * 2 libertés de couleur : 2 * 4 *  6  * 211 = 10 128

6 de suite (pas as) * une couleur * 1 autre valeur * 2 libertés de couleur : 7 * 4 * 5  * 211 = 29 540

5 de suite (as) * une couleur * 2 autres valeurs * 2 libertés : 2 * 4 * 7 * 6 / 2 * 211 = 35 448

5 de suite (pas as) * une couleur * 2 autres valeurs * 2 libertés : 8 * 4 * 6 * 5 / 2 * 211 = 101 280

Donc N3 + N5= 183 148

Donc N3 = 166 380

 

N3 + N4 + N5 = 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 / 120 * 24 * 21 / 2 + 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 * 8 / 720 * 21 + 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 / 720 / 7 =  1 448 304

Couleur de 5, 6 ou 7 cartes.

Donc N4 =  1 265 156

 

N2+N3 + N5 = 8 * 1024 * 24 * 20 /2 + 2 * 1024 * 28 * 24 /2 + 7 * 4096 * 20 + 2 * 4096 * 24 + 8 *

16384 = 3 555 328

Quinte à 5 (pas as et as), 6 (pas as et as) et 7.

Donc N 2 =  3 372 180

 

N1 +… + N5 = 52 * 48 * 44 * 40 * 36 * 32 * 28 / 720 / 7 = 28 114 944

Donc N1 =  23 294 460

 

Vérification partielle.

N27 = 123 552

N26 = 2 471 040

N25 = 54 912

N24 = 624

N23 =  41 184

N22 = 3 294 720

N17 + N18 + N20 + N21 = 29 652 480

N16 = 183 040

N11 + N12 + N14 + N15 = 6 589 440

N6 + N7 + … + N10 =  63 258 624

N1 +… + N5 = 28 114 944

Le total fait 133 784 560 = le nombre total des configurations.

Mais cette vérification ne marche que « par bloc ». Les 4 agrégats peuvent être faux dans le détail (mais cette fois j’ai pas mal vérifié).

 

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commentaires

T
<br /> <br /> Wikipedia comporte un article sur ce sujet.<br /> <br /> <br /> http://fr.wikipedia.org/wiki/Probabilit%C3%A9_au_poker<br /> <br /> <br /> Je ne le trouve pas très clair. Je ne comprend pas ce qui est "compté".<br /> <br /> <br /> <br />
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