On s’intéresse à l’énergie dégagée par la Terre elle-même.

On a passé en revu les 3 principaux éléments naturels radioactifs.

L’énergie dissipée par an est donc 

Pour le Thorium : Eth = 5,3 E+22 J

Pour l’uranium 238 : Eu238 = 3 ;88 E+22 J

Pour le potassium :  Ek40 = 2,8 E+22 J  

Pour l’uranium 235 : Eu235 = 1,62 E+21 J

Au total On a Er = 1,2 E+23 J

Rappel : L’énergie annuelle absorbée par la Terre par an ET =  3,9 E+24J. 

Le rayon de la Terre et r = 6,37 E+9 m

La surface de la Terre et S = pi * r * r = 5,1 E+14 m2

Le flux d’énergie sur un an est E1 = Er/S = 2,4 E+8 J/m2

La puissance correspondante est Pr = E1/(24*3600*365) = 7,5 W/m2 

Les sites en référence ne donnent pas cette valeur. 

http://www.unites.uqam.ca/terre/flux_de_chaleur/FrameSet1.html

http://www.earth.rochester.edu/fehnlab/ees215/lect6.html

On est plutôt dans les 0,1 W/m2 

Il faut donc en conclure que les éléments radioactifs ne sont présents que dans la croûte terrestre qui représente environ 1,4 % de la masse de la Terre.

Je trouve cela plutôt étrange. On a affaire a un sacré mécanisme de séparation ! 

Un autre site indique qu’il y a bien des éléments radioactifs dans le manteau (moins mais c’est bien plus grand et cela génère plus de chaleur).

http://www.insu.cnrs.fr/web/article/art.php?art=242  

Ce sont donc les chiffres estimatifs sur le proportion de ces éléments dans la croûte qui sont aussi à revoir.

Ce site évoque un puissance de 44 E+12 W soit 0,086 W/m2 

Outre la radioactivité, il existe 2 autres sources de « libération d’énergie » au sein de la Terre : la solidification du noyau et l’énergie de gravitation libéré par la concentration de la densité au centre.

Je ne possède pas d’éléments chiffrés. 

Enfin, le temps de transit de la chaleur entre le centre de la Terre et la surface est un mystère. Par exemple, s’il y avait des éléments radioactifs au centre de la Terre, la chaleur dégagée prendrait un certain temps. Le flux de chaleur mesuré aujourd’hui correspond donc à des désintégration émise il y a longtemps. Or, « il y a longtemps » signifie une densité d’éléments radioactifs plus importante. 

Bref, l’impression général qui ressort de ces calculs est qu’il y a encore beaucoup d’incertitude sur les questions suivantes

-          Présence des éléments K, U, Th dans les différentes couches terrestres.

-          Flux d’énergie interne

-          Part des autres composantes de l’énergie interne.

Il faut aussi considérer qu’une part de l’énergie transite au sein de la Terre sous des formes autre que de la chaleur (Energie cinétique et électrique).  

C’est bien, la recherche a donc du « pain sur la planche ». 

Pour mon propos et mes « calculs de coin de table », c’est plus embêtant. Il est difficile de voir où se situent les erreurs principales. Le calcul mené abouti à un rapport d’environ 100 pour un par rapport aux données recueillies : c’est beaucoup !

On s’intéresse à l’énergie dégagée par la Terre elle-même.

Après le Thorium, examinons l’uranium.

Il y a 2 composant radioactifs «naturels » U235 et U238. http://rubble.phys.ualberta.ca/%7Edoug/G221/RadiometLec/radioact.html http://www.webelements.com/webelements/elements/text/Th/radio.html

La désintégration du U235 donne 7 He et 1 Pb207

Masse U235 = 235,0439242

Masse He = 4,00260324

Masse  Pb207 = 206,975872

La différence de masse est Dm = 0,04982952

Nombre d’avogadro N = 6,022 E+23

Vitesse de la lumière c =3 E+8m/s

L’énergie d’une désintégration est  E1 = Dm c2/N = 7,44 E-12J

1 eV = 1,6 E-19 J

E 1 = 46,54 MeV

Demi-vie : T = 703 800 000 an

Coefficient de désintégration lambda = ln(2)/T= 9,84 E-11/an

Masse atomique : Ma = 235 g/mole

Puissance dissipée par kg de corps pur P = E1 * N * lambda /(24*3600*365 * 235/1000)

P  = 5,96 E-4 W/kg

Ce résultat correspond au données du site en référence.

Masse de la Terre : M1 = 6 E+24 kg

La proportion d’uranium en masse est p = 0,000002 http://www.tableauperiodique.be/archi.htm

Cette proportion est donnée pour la croûte terrestre, on la supposera valable pour la Terre dans son ensemble.

La masse de U contenu sur Terre est donc : M2 = p * M1 = 1,2 E+19 kg

La proportion d’U235 est q= 0,72%

La masse d’U235 contenu sur Terre est donc M3 = q * M2 = 8,64 E+16 kg.

L’énergie dissipée par an par la désintégration de l’U235 est Eu235 = M3 * P * 3600 * 24 * 365 = 1,62 E+22 J 

La désintégration du U238 donne 8 He et 1 Pb206

Masse U238 = 238,0507847

Masse He = 4,00260324

Masse  Pb206 = 205,97444

La différence de masse est Dm = 0,05551878

Nombre d’avogadro N = 6,022 E+23

Vitesse de la lumière c =3 E+8m/s

L’énergie d’une désintégration est  E1 = Dm c2/N = 8,29739 E-12J

1 eV = 1,6 E-19 J

E 1 = 51,85 MeV

Demi-vie : T = 4,4 E+9 an

Coefficient de désintégration lambda = ln(2)/T= 1,55 E-10/an

Masse atomique : Ma = 238 g/mole

Puissance dissipée par kg de corps pur P = E1 * N * lambda /(24*3600*365 * 238/1000)

P  = 1,03 E-4 W/kg

Ce résultat est en bon accord avec le site en référence.

La proportion d’U238 est q’= 99,27%

La masse d’U238 contenu sur Terre est donc M4 = q’ * M2 = 1,19 E+19 kg.

L’énergie dissipée par an par la désintégration de l’U238 est Eu238 = M4 * P * 3600 * 24 * 365 = 3,88 E+22 J  

L’U238 et l’U235 ont une énergie de désintégration équivalente. L’U238 se désintègre beaucoup moins vite mais il est beaucoup plus présent. Au final, c’est l’énergie de désintégration se réparti pour les 2/3 pour l’U238 et pour un tiers pour l‘U235. 

Rappel : la croûte terrestre représente environ 1,4 % de la masse de la Terre.

Si l’Uranium n’est présent que dans la croûte, il faut multiplier les chiffres précédents par cette fraction.

Estimons la circulation de l’atmosphère. 

Rayon de la Terre : r = 6,37 e+6 m

Surface de la Terre S = 4 pi r*r = 5,1 E+14 m2

L’atmosphère est à « 1 atmosphère » soit 100 000 pascal = 100 000 N/m2

Ce qui correspond à une masse de m1 = 10 000 kg/m2

La masse de l’atmosphère est donc M =  S* m1 = 5,1 E+18 kg  Rappel ; la masse des océans est Mo = 1,3 E+21 kg (2500 fois plus) 

Supposons que la part de l’atmosphère concernée par la circulation soit 0,3.

Cela correspond à m2= 0,3 * m1 = 1,5 E=18 kg

La capacité thermique de l’air est K = 710 J/k/kg

Supposons que l’écart de température soit de 60 K (de + 30C à -30 C).

L’énergie thermique transportée en un cycle est E1 = m2 * K * 60 = 6,5 E+22 J

Supposons que la durée d’un cycle est de 15 j

Il y a donc environ 24 cycles par ans.

L’énergie thermique transportée par l’atmosphère en un an est alors E2 = 24*E1 = 1,6 E+24J  

Rappel : l’énergie solaire absorbée par la terre par an est 3,5 E+24 J

L’énergie thermique transportée par l’atmosphère serait 45% de celle-ci.

On s’intéresse au couple « Terre-Lune »  On fait des hypothèses suivantes : 

La Lune décrit une trajectoire circulaire autour de la Terre. Les masses de la Terre et de la Lune sont constantes. La terre tourne sur elle-même. On suppose que la rotation de la Lune est synchronisé sur sa révolution. On suppose le couple « isolé ». On imagine que la distance Terre-Lune ou la période de rotation de la Terre peut changer. 

2.   Les constantes. 
Masse de la Lune : m = 7 10²² kg. 

Masse de la terre : M = 6 10²⁴ kg. 

Constante de gravitation G = 6,64 10^-11 Nm²/kg² 

Rayon de la Terre r = 6375000 m 

Pour une sphère solide, le moment d’inertie I = 0,4 M r² . La Terre n’étant pas homogène, la valeur est I = 0,33 Mr² = 8 10³⁷ kgm².
  

4.   Les variables.  

- La distante Terre-Lune : R. Actuellement R = 384500000 m 

- La vitesse angulaire de rotation de la Terre : w. 

Elle est en relation avec le jour sidéral t.   Actuellement, t = 86164 s et w = 2pi/t = 7,3 10^-5 rad/s 

L1 = m v R 

Vitesse de la lune v = 2piR/T 

La période de la lune T est fournit par la version newtonnienne de la troisième loi de Kepler T² = 4pi² R³/ (G(m+M)) 

L1 = 2pi m R²/T = m (R G (m + M))^1/2 

 
5.2        Moment angulaire de la terre 

L2 = I w 

5.3        Conservation du moment angulaire total.  

Le système étant isolé, aucun autre corps  ne peut « emporter » une partie du moment angulaire. Cela suppose que l’on néglige un dispositif éjectant de la matière terrestre (il faudrait une grosse masse à très grande vitesse pour que l’effet soit perceptible). 

L1+L2 = constante 

dL1 = -dL2 

On a dL1 =  m (G(m+M)/R)^1/2 /2dR 

On a dL2 = I dw 

D’où une première équation : dw = - m (G(m+M)/R)^1/2 /2I dR 

Si la distance Terre-Lune augmente, la Terre ralentit (la durée du jour rallonge) 

En application numérique (unité SI) pour R de départ dw = -4,5 10^-13 dR 

Comme w = 2pi/t, dt = -2pi/w² , on a : dw = 5 10^-4 dw 

L’éloignement de 1 m de la Lune correspond à un ralentissement de ½ milliseconde du jour. 

6.   Considération énergétique. 

On a les énergies suivantes 

-         Energie potentiel de gravitation : E1. 

-         Energie cinétique de la lune : E2. 

-         Energie de rotation de la Terre : E3. 

-         On négligera l’énergie de rotation de la Lune (faible rotation, faible moment d’inertie) et sa variation (la lune continue à présenter la même face) 

E1 = -GMm/R 

E2 = ½ m v² 

Qui donne grâce à (v=2piR/T, T² = 4pi² R³/ (G(m+M))) 

E2 = mG(m+M)/2R 

E1 + E2 = mG(m-M)/2R 

Pour cette part, l’énergie augmente lorsque la Lune s’éloigne (m-M etant négatif). 

E3 = ½ I w² 

Variation d’énergie dE = mG(M-m)/2R² dR + Iw dw  
Soit dE = (G(M-m)/R2) - w(G(m+M)/R)^1/2 )m/2 dR

On remarque que c’est indépendant de I (donc de r). 

En valeur numérique  dE/dR = -2,5 10²¹ J/m. 

Le coefficients valent 9,4 10¹⁹ pour la révolution de la Lune (dE1 + dE2), et -2,6 10²¹ pour la rotation de la Terre (dE3). L’effet de cette rotation est donc largement prépondérant. 

L’éloignement de la lune fournit de l’énergie (de la chaleur dissipée dans la Terre et la Lune). Pour 1 m, on a -2,5 10²¹ J 

L’éloignement naturel est de 3,5 m par siècle.

Sur un an l’énergie dissipée est donc de : 8 10¹⁹ J. 

Rappel : l’énergie solaire absorbée par la Terre annuellement est ET = 3,9 E+24J.

L’énergie dissipée par cette mécanique est environ un 22 millionième de l’énergie solaire.

La seule solution technique pour récupérer cette énergie réside dans les usines marémotrices. 

Sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Usine_mar%C3%A9motrice_de_la_Rance 

On a le chiffre de 600 000 000 kwh/an Soit 2,16 10¹⁵ J. Cette énergie électrique est le 25 millionième de l’énergie du couple Terre-Lune. 

Pas mal, car il faut tenir compte des aspects suivants 

-          L’énergie électrique produite n’est qu’une fraction de l’énergie captée (prenons un facteur 1/2) 

-          L’énergie du couple Terre-Lune se partage entre la Terre et la Lune (prenons une moitie pour la Terre). 

-          L’énergie se dissipe dans les mouvements et déformations, la mer n’est pas la seule affectée. Prenons encore un facteur 1/2. 

Avec ces chiffres, l’usine fournit 2 dix millième de l’énergie récupérable pour tous les océans. Il en « faudrait 50 000 »  pour « tout récupérer » en supposant que toutes soient aussi efficaces. 

Avec ces calculs de coin de table et les hypothèses faites, il n’est pas possible d’analyser un autre phénomène : les usines marémotrices perturbent le moment d’inertie I

Le rayon de la Terre est r = 6370000 m 

La surface de la Terre est ST = 4pir*r* = 4 S2 = 5,1 E+14 m2

La hauteur de pluie annuelle moyenne est d’environ de h = 0,7m (très approximatif)

Le volume de pluie annuel sur Terre est donc Vp= St * h = 3,5 E+14 m3 (350 000 km3)  

En supposant que le cycle de l’eau fait que cette eau reste en moyenne une durée d = 5 jours.

Alors le volume d’eau dans l’atmosphère en permanence est Ve = Vp * d/365 = 4,9 E+12 m3

La masse d’eau dans l’atmosphère est Me = 4,9 E+15 kg.

Puisque la pression est en moyenne de 1 bar (cela représente la force que produit 10 000 kg/m2)

La masse de l’atmosphère est Ma = ST * 10 000 = 5,1 E+18 kg

La proportion d’eau dans l’atmosphère est Pe = Ve/Me = 0,1%  

Ce chiffre est approximatif, modérément constant dans la globalité et très variable localement. 

L’énergie de vaporisation de l’eau est Ev = 2 250 000 J/kg.

L’énergie nécessaire annuellement pour vaporiser l’eau qui va tomber en pluie est E1 = Ve * Ev * 1000 = 7,1 10+23 J

Rappel : l’énergie solaire absorbée par la Terre annuellement est ET = 3,9 E+24J

La proportion utilisée pour vaporiser l’eau (et relachée en hauteur pour condenser l’eau de pluie) est donc K1 = E1/ET = 18% 

Je suis étonné. Ce rapport est faible. Il faut sans doute l’augmenter par l’élévation de température et par le fait qu’une partie de la pluie transite par l’état solide. Mais cela a un effet restreint. Un fraction majoritaire de l’énergie absorbée par la Terre est évacuée autrement que par le cycle de la pluie !