[Ceci est un reprise corrective de l'article du 7 juillet 2009]

Mes enfants et moi avons « appris » le poker et plus particulièrement le « texas hold em ». Il est intéressant d’examiner les probabilités associées. Rappel, il s’agit de faire une « main » de 5 cartes avec 7 cartes. Le jeu est de 52 cartes. Les jeux sont : « rien », « une paire », «  deux paires », « un brelan », « une quinte », « une couleur », « un plein » « un carré » et une « quinte couleur ».

Première question : combien y a-t-il de façons d’obtenir 7 cartes ?

C’est une simple combinaison, l’ordre d’apparition des 7 cartes n’intervient pas. On a donc le nombre N = 52 * 51 * 50 * 49 * 48 *47 *46 / (1 * 2 * 3 *4 * 5 * 6 * 7) = 133 784 560.

Ce nombre sera le « diviseur » pour obtenir les probabilités d’apparition des différentes « mains ».

Avant de lancer le calcul, on va chercher à classer les configurations différentes pour « 7 cartes ». Pour cela on va commencer par s’intéresser aux paires.

Avec 7 cartes, on a soit aucune paire, soit une paires, soit 2 paires (de différentes valeurs) soit 3 paires. Le dernier cas ne peut pas faire une main de 5 cartes mais c’est un configuration du tirage.

Passons au « groupe de 3 cartes de même valeur » (que l’on nommera « brelan » bien que là aussi on doive distinguer la configuration du tirage des 7 cartes de la main de 5 cartes) . Il peut y avoir un brelan (il y a une paire sous jacente). On peut aussi avoir un brelan et une paire (il y a donc 2 paires), un brelan et 2 paires (il a donc 3 paires) et 2 brelans (2 paires).

Avec le « carré », on a soit un carré (et donc un « brelan ») soit un carré et une paire (2 paires) soit un carré et un brelan (2 paires).

On voit que l’on peut partitionner l’ensemble des 133 millions et quelques de configurations en différents sous-ensembles.

A : Rien

B : Une paire « sèche »

C : Un brelan « sec »

D : Un carré « sec »

E : 2 paires « sèches »

F : Un brelan et une paire

G : 2 brelans

H : Un carré et une paire

I : Un carré et un brelan

J : 3 paires

K : Un brelan et 2 paires.

A cela il faut ajouter les cas des couleurs et des quintes. Ces  cas « monopolisent » 5 cartes qui ne jouent pas dans ces « histoires de paires ». Il reste 2 cartes disponibles. Donc il ne peuvent se conjuguer qu’avec les configurations A, B, C et E. Par contre, les mélanges des cas « couleur » et « quinte » sont « libres ». On se retrouve donc avec la liste de configurations suivantes :

Dérivant de A :

1 : rien

2 : Quinte « sèche »

3 : Couleur et quinte (mais pas quinte couleur)

4 : Couleur « sèche »

5 : quinte couleur « sèche »

Dérivant de B

6 : Paire « sèche »

7 : quinte (sans couleur) et paire

8 : couleur (sans quinte) et paire

9 : Couleur quinte et paire (mais pas quinte couleur)

10 : quinte couleur et paire.

Dérivant de C

11 ; couleur (sans quinte) et brelan

12 : brelan « sec »

13 : couleur, quinte et brelan (mais pas quinte couleur). Un examen plus précis montre que ce cas n’est pas possible.

14 : quinte couleur et brelan.

15 : quinte (sans couleur) et brelan

D. 16 : carré

Dérivant de E

17 : 2 paires

18 : Quinte (sans couleur) et 2 paires

19 : couleur quinte et 2 paires (mais pas quinte couleur). Ce n’est pas possible

20 : quinte couleur et 2 paires

21 : couleur (sans quinte) et 2 paires

F. 22 : brelan + paire

G. 25 : 2 brelans

H. 23 : carré + paire

I. 24 : carré + brelan

J. 26 : 3 paires

K. 27 : brelan + 2 paires.

Dénombrons !

N27 = 13 * 4 * 12 * 6 * 11 *6 / 2 = 123 552

N26 = 13 * 6 * 12 * 6 * 11 * 6 * 40 / 6 = 2 471 040

N25 = 13 *4 * 12 * 4 * 44 / 2 = 54 912

N24 = 13 * 12 * 4 = 624

N23 = 13 * 12 *6 * 44 = 41 184

N22 = 13 * 4 * 12 * 6 * 44 * 40 / 2 = 3 294 720

N20 = 4 * 10 * 15 * 12 / 2 = 3 600

N20 + N21 = 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 / 120 * 15 * 12 / 2 = 463 320

Donc N21= 459 720

N18 +N20 = 10 * 4^5 *15 * 12 / 2 / 4 = 230 400

A cause des 2 paires, chaque quinte est comptée 4 fois.

Donc N18 = 226 800

N17 + N18 + N20 + N21 =  13 * 6 * 12 * 6 / 2 * 44 *40 * 36 / 6 = 29 652 480

Donc N17 = 28 962 360

N16 = 13 * 48 * 44 * 40 / 6 = 183 040

N14 = 4 * 10 * 5 * 3 = 600

N14 + N15 = 10 * 4^5 * 5 * 3 / 3 = 51 200

Il faut diviser par 3 car chaque main a « 3 lectures ».

Donc N15 = 50 600

N11 + N14 = 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 / 120 * 5 * 3 = 77 220

Donc N11 = 76 620

N11 + N12 + N14 + N15 = 13 *4 * 48 * 44 * 40 * 36 / 24 = 6 589 440

Donc N12= 6 461 620

N10 = 4*8*15*30 + 4*8*(24*2/2 + 6*3) + 4*2*15*31 + 4*2*(24*2/2 + 7*3) + 4*9*18 = 20 472.

Le calcul de N9 passe par celui de N9 + N10. Il y a la quinte xyztu. Il y a une autre hauteur v. On a le cas où v est rattaché à xyztuv et celui où il ne l’est pas. La paire se forme avec xyztu ou bien avec v. La couleur est nécessairement avec xyztu v (avec 0 ou une exception).

Quinte couleur à 6 (inclus dans N10) et une paire : 9 * 4 * 18 = 648

6 de suite, dont couleur de 5 et paire hors couleur : 9 * 4 * 6 * 3 * 2 / 2 = 648

6 de suite, dont couleur de 5 et paire avec carte de la couleur : 9 * 4 * 6 * 3 * 5 * 3 =  9720

5 de suite (as) * une couleur  (de 5 ou 6) * paire en v cas N10 : 2 * 4 * 28*3/2 = 336

5 de suite (as) * une couleur * paire en v cas non N10 (donc un « v » est dans la couleur) : 2 * 4 * 7 * 3 * 5 * 3 = 2520

5 de suite (as) * une couleur (de 5 ou 6) * paire non en v cas N10 : 2 * 4 * 28 * 15 = 3360

5 de suite (as) * une couleur * paire non en v cas non N10 paire hors couleur (donc v est dans la couleur) : 2 * 4 * 7 * 5 * 3 *2/2 = 840

5 de suite (as) * une couleur * paire non en v cas non N10 paire dans couleur : 2 * 4 * 7 * 5 * 3 * 4 * 3 =  10 080

5 de suite (pas as) * une couleur * paire en v cas N10 : 8 * 4 * 24 * 3/2 =  1152

5 de suite (pas as) * une couleur * paire en v cas non N10 : 8 * 4 * 6 * 3 * 5 * 3 = 8 640

5 de suite (pas as) * une couleur * paire non en v cas N 10 : 8 * 4 * 24 * 15 =  11520

5 de suite (pas as) * une couleur * paire non en v cas non N 10 paire hors couleur : 8 * 4 * 6 * 5 * 3 *2/2  = 2 880

5 de suite (pas as) * une couleur * paire non en v cas non N 10 paire dans couleur : 8 * 4 * 6 * 5 * 3 * 4 * 3 =  34 560  

N9+ N10 = 86904

Donc N9 = 66432

N8 + N9 + N10 = 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 / 120 * 15 * 24 + 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 * 8 / 720 * 18 + 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 / 120 * 8 * 3 *2/2 = 2 100 384

(la paire est dans la couleur et autre carte non couleur + couleur de 6 + couleur de 5 et paire ailleurs d’une autre couleur)

donc N8 = 2 013 480

N7+ N9 + N10 = 8 * 1024 * 15 * 24 / 2 + 2 * 1024 * 15 * 28 / 2  + 8 * 1024 * 24 * 3 / 2 + 2 * 1024 * 28 * 3 / 2 + 9 * 4096 * 18 /2 = 2 617 344

(quinte non as et paire associé plus autre carte, quinte dont as paire associée et autre carte,  quinte non as et paire ailleurs, quinte as et paire ailleurs, quinte de 6).

Donc N7 = 2 530 440

N6 + N7 + N8 + N9 + N10 = 13 * 6 * 48 * 44 * 40 * 36 * 32 / 120  = 63 258 624

Donc N6 = 58 627 800

N5 = (4 * 8 * 24 * 20 / 2 + 4 *  8 *  6 *  24  + 4 * 8 * 6 * 3 / 2) + (4 * 2 * 28 * 24 / 2 + 4 * 2 * 3 * 28) + 4 * 7 * 22 + 4 * 2 * 23 + 4 * 8  =16 768    

Quinte couleur de 5 sans as reste à prendre parmi 30 cartes  (24 + 6)

Quinte couleur de 5 avec as reste à prendre parmi 31 cartes (28 + 3)

Quinte couleur de 6 sans et avec as 

Quinte couleur de 7

N3  s’obtient par N3 + N5. Il y a la quinte xyztu. Il y a une autre hauteur v et une autre w. Il y a toujours 2 libertés de couleur sur les 7. Il y a le cas de la couleur à 5, à 6 et à 7. L = 7 * 6 /2 * 3 * 3 + 7 * 3 + 1 = 211.   

7 de suite * un couleur * 2 libertés de couleur :  8 * 4 * 211 = 6 752

6 de suite (as) * une couleur * 1 autre valeur * 2 libertés de couleur : 2 * 4 *  6  * 211 = 10 128

6 de suite (pas as) * une couleur * 1 autre valeur * 2 libertés de couleur : 7 * 4 * 5  * 211 = 29 540

5 de suite (as) * une couleur * 2 autres valeurs * 2 libertés : 2 * 4 * 7 * 6 / 2 * 211 = 35 448

5 de suite (pas as) * une couleur * 2 autres valeurs * 2 libertés : 8 * 4 * 6 * 5 / 2 * 211 = 101 280

Donc N3 + N5= 183 148

Donc N3 = 166 380

N3 + N4 + N5 = 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 / 120 * 24 * 21 / 2 + 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 * 8 / 720 * 21 + 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 / 720 / 7 =  1 448 304

Couleur de 5, 6 ou 7 cartes.

Donc N4 =  1 265 156

N2+N3 + N5 = 8 * 1024 * 24 * 20 /2 + 2 * 1024 * 28 * 24 /2 + 7 * 4096 * 20 + 2 * 4096 * 24 + 8 *

16384 = 3 555 328

Quinte à 5 (pas as et as), 6 (pas as et as) et 7.

Donc N 2 =  3 372 180

N1 +… + N5 = 52 * 48 * 44 * 40 * 36 * 32 * 28 / 720 / 7 = 28 114 944

Donc N1 =  23 294 460

Vérification partielle.

N27 = 123 552

N26 = 2 471 040

N25 = 54 912

N24 = 624

N23 =  41 184

N22 = 3 294 720

N17 + N18 + N20 + N21 = 29 652 480

N16 = 183 040

N11 + N12 + N14 + N15 = 6 589 440

N6 + N7 + … + N10 =  63 258 624

N1 +… + N5 = 28 114 944

Le total fait 133 784 560 = le nombre total des configurations.

Mais cette vérification ne marche que « par bloc ». Les 4 agrégats peuvent être faux dans le détail (mais cette fois j’ai pas mal vérifié).

L’autre jour, pour évoquer la mécanique quantique et le principe d’incertitude (ou plutôt l’effet Hall) à mes enfants, j’ai parlé de l’électron qui pouvait franchir une barrière. Puis, pour les faire rêver, j’ai indiqué qu’il existait une infime probabilité pour que tous les atomes d’un prisonnier se délocalisent simultanément de l’autre coté du mur de sa prison. Toutefois, la probabilité est tellement infime que la probabilité que cela arrive une seule fois dans tout l’espace et le temps connu est elle-même infime. Bref, c’est impossible.

C’est un peu là l’ennui avec le zéro et le « presque zéro ». C’est aussi une différence entre les math et la physique. En math, pas de problème avec le zéro (ni moyennant quelques précautions, avec l’infini). En physique, cela coince.

J’en reviens à la question des probabilités. Dans la vie courante, une probabilité de 1 % est déjà tenue pour négligeable. J’en donne un exemple. La crue centenale de 1910 a chaque année une probabilité de 1 % de se produire. C’est un événement catastrophique et on préfèrerait ne pas habiter en zone inondable à ce moment là. Pourtant, qui s’en soucie lors de l’achat d’une habitation ?

Autre exemple approximatif. Avec 5000 tués sur les routes pour 60 millions d’habitant, la probabilité annuelle de se faire tuer sur la route pour un « français moyen » est de  0,01 %. Si l’on prend 200 fois la route par an, c’est 0,0005 % à chaque fois.

On pourrait aussi calculer la probabilité de mourir dans l’année en fonction de son âge. A partir de 60 ans, je pense que cela doit valoir quelques pourcents (le taux de mortalité global est de 8,6 pour 1000). Là encore, la condition physique au début de l’année (est-on déjà malade) influence « l’espérance ».

Fort heureusement, tout cela ne nous arrête pas. Mais justement, c’est cette absence de moyen de comparaison qui est une lacune. Sans elle, il n’est pas possible de savoir si la grippe est grave ou non.

En physique, les mesures précisent atteignent 4 chiffres significatifs, exceptionnellement plus. L’approximation est de l’ordre de 0,01%. Je pense que ce taux peut se lire (moyennant quelques transformations) comme une probabilité.

Bref, il faut s’y faire. Dans notre monde macroscopique, les événements rares sont de l’ordre de 0,01%.

Tentons d’approcher ce que serait une base de comparaison.

On suppose qu’il s’agit de noter la probabilité d’un événement. Qui dit événement dit « date ». Il est nécessaire de fixer une base de temps pendant laquelle l’événement peut se produire. L’année semble « parlante » (en unité du système international, ce serait la seconde).

Ensuite, l’événement peut sans doute concerner une population d’individus ou d’objets. Ce sont eux qui subissent l’événement directement. Par exemple, un accident de central nucléaire concerne la population de central nucléaire. Ce qui est embêtant c’est que cela diffère selon les types d’événements. On peut alors se ramener à 2 bases : une base humaine et une base financière. C'est-à-dire que l’on donne décline l’événement premier en 1 ou plusieurs événements seconds qui eux ont ces impacts.

Ceci permet aussi d’intégrer la gravité. Pour l’aspect financier, c’est la valeur financière. Pour l’aspect humain, une échelle est à construire (mort, blessure gave, blessure légère, traumatisme psychologique, …, perte de temps).

Un risque est alors le « cout annuelle » = probabilité annuelle * somme (facteur de décomposition * gravité).

J’arrête là l’esquisse. Ce travail est hors de portée de mon activité bloguitoriale. Toutefois, ce travail de «construction «  d’une échelle universelle de risque me semble pertinente.

Lorsque l’on joue au poker (texas hold em), on a connaissance de 5 cartes. Il y en 47 autres. Il va « sortir » 2 autres cartes. La « chance » d’avoir un bon jeu dépend des cartes que l’on a en main.

Pour obtenir une couleur.

Il est impossible d’avoir 5 cartes de couleurs différentes. Il n’y a que 3 cas.

Le cas où l’on a déjà un couleur. Cela signifie que les cartes étalées sont de la même couleur. Là, ce qui devient embêtant c’est que les autres l’obtiennent aussi.

Le cas où l’on a 4 cartes de la même couleur. Il en manque une. La probabilité de l’obtenir est Pcl1 = 9/47 + 9 /46 = 38,71%

Le cas où l’on a 3 cartes de la même couleur. Il en faut encore 2. La probabilité de l’obtenir est Pcl2 = 10/47 * 9/46 = 4, 16%

Pour obtenir une quinte.

Là encore on peut déjà l’avoir. Sinon, on peut avoir besoin d’une ou de 2 cartes.

Si l’on a besoin d’une carte d’un des 2 cotés (cela signifie que l’on a une « pré-sui »t de 4 cartes sans as), la probabilité est Pqu1 = 8/47 + 8/46 = 34,41%

Si l’on besoin d’une carte d’un coté ou « au milieu », la probabilité est Pqu2 = 4/47 + 4 /46 = Pqu1/2 = 17,21%

Si l’on a besoin de 2 cartes (extension libre des 2 cotés), la probabilité est Pqu3 = 8/47 * 8/46 = 2,96%.

En ce qui concerne la série des paires, brelan, full et carré, cela « va ensemble ». Dans les calculs, afin d’alléger les probabilités des mains plus faibles incluent les cas « plus forts ».

Cas a : rien au départ

Alors, impossible d’avoir un carré ou un full.

Pbr1 = 15/47 * 2/46 = 1,38%

P2p1 = 15 /47 * 12/46 = 8,32%

Pp (incluant les précédents) = 15/47 + 15/46 = 64,52%

Cas b : une paire au départ

Pcarré1 = 2/47*1/46 = 0,09%

Pfu 1 = 2/47*9/46 + 9/47*2/46 = 1,67%

Pbr2 = 2/47 +  2 /46 + 6/47*2/46 = 9,16%

P2p2 = 9/47 + 9/46 + 32/47*3/46 = 43,15%

Cas c : 2 paires au départ

Pcarré2 = 4/47 * 1/46 = 0,18%

Pfu2 = 4/47 + 4/46 + 6/47*2/46 = 17,76 %

Pbr3 = 4/47 + 4/46  +4/47*2/46 = 17,57%

Cas d : un brelan au départ

Pcarré3 = 1/47 + 1 /46 = 4,30%

Pfu3 = 6/47 + 6/46 + 40/47*3/46 = 31,36 %

Cas e : un full au départ

Pcarré4 = 1/47+ 1 /46 = 4,30%

Mais tout ceci n’est pas la partie essentiel du problème. Au poker, il ne s’agit pas tant d’avoir un bon jeu que d’avoir un meilleur jeu que l’adversaire.

A ce titre, une fois les 5 cartes exposées, ces probabilités peuvent aussi servir pour estimer (en faisant abstraction de l’aspect psychologique liées aux enchères) la probabilité de la main « finale » de l’adversaire. On est en effet dans le même cas de figure (le calcul diffère un peu car les cartes qu’il a en main sont à prendre parmi 45).

Cet article contient beaucoup d'erreurs. Il est repris dans l'article du 21 avril 2010.

Mes enfants et moi avons « appris » le poker et plus particulièrement le « texas hold em ». Il est intéressant d’examiner les probabilités associées. Rappel, il s’agit de faire une « main » de 5 cartes avec 7 cartes. Le jeu est de 52 cartes. Les jeux sont : « rien », « une paire », «  deux paires », « un brelan », « une quinte », « une couleur », « un plein » « un carré » et une « quinte couleur ».

Première question : combien y a-t-il de façons d’obtenir 7 cartes ?

C’est une simple combinaison, l’ordre d’apparition des 7 cartes n’intervient pas. On a donc le nombre N = 52 * 51 * 50 * 49 * 48 *47 *46 / (1 * 2 * 3 *4 * 5 * 6 * 7) = 133 784 560.

Ce nombre sera le « diviseur » pour obtenir les probabilités d’apparition des différentes « mains ».

Avant de lancer le calcul, on va chercher à classer les configurations différentes pour « 7 cartes ». Pour cela on va commencer par s’intéresser aux paires.

Avec 7 cartes, on a soit aucune paire, soit une paires, soit 2 paires (de différentes valeurs) soit 3 paires. Le dernier cas ne peut pas faire une main de 5 cartes mais c’est un configuration du tirage.

Passons au « groupe de 3 cartes de même valeur » (que l’on nommera « brelan » bien que là aussi on doive distinguer la configuration du tirage des 7 cartes de la main de 5 cartes) . Il peut y avoir un brelan (il y a une paire sous jacente). On peut aussi avoir un brelan et une paire (il y a donc 2 paires), un brelan et 2 paires (il a donc 3 paires) et 2 brelans (2 paires).

Avec le « carré », on a soit un carré (et donc un « brelan ») soit un carré et une paire (2 paires) soit un carré et un brelan (2 paires).

On voit que l’on peut partitionner l’ensemble des 133 millions et quelques de configurations et différents sous-ensembles.

A : Rien

B : Une paire « sèche »

C : Un brelan « sec »

D : Un carré « sec »

E : 2 paires « sèches »

F : Un brelan et une paire

G : 2 brelans

H : Un carré et une paire

I : Un carré et un brelan

J : 3 paires

K : Un brelan et 2 paires.

A cela il faut ajouter les cas des couleurs et des quintes. Ces  cas « monopolisent » 5 cartes qui ne jouent pas dans ces « histoires de paires ». Il reste donc 2 cartes disponibles. Donc il ne peuvent se conjuguer qu’avec les configurations A, B, C et E.

Par contre, les mélanges des cas « couleur » et « quinte » sont plutôt « libres ». On se retrouve donc avec la liste de configurations suivantes :

Dérivant de A :

1 : rien

2 : Quinte « sèche »

3 : Couleur et quinte ‘mais pas quinte couleur)

4 : Couleur « sèche »

5 : quinte couleur « sèche »

Dérivant de B

6 : Paire « sèche »

7 : quinte et paire

8 : couleur et paire

9 : Couleur quinte et paire (mais pas quinte couleur)

10 : quinte couleur et paire.

Dérivant de C

11 ; couleur et brelan

12 : brelan « sec »

13 : couleur, quinte et brelan (mais pas quinte couleur). Un examen plus précis montre que ce cas n’est pas possible.

14 : quinte couleur et brelan.

15 : quinte et brelan

D. 16 : carré

Dérivant de E

17 : 2 paires

18 : Quinte et 2 paires

19 : couleur quinte et 2 paires (mais pas quinte couleur). Ce n’est pas possible

20 : quinte couleur et 2 paires

21 : couleur et 2 paires

F. 22 : brelan + paire

G. 25 : 2 brelans

H. 23 : carré + paire

I. 24 : carré + brelan

J. 26 : 3 paires

K. 27 : brelan + 2 paires.

Dénombrons !

N27 = 13 * 4 * 12 * 6 * 11 *6 / 2 = 123 552

N26 = 13 * 6 * 12 * 6 * 11 * 6 * 40 / 6 = 2 471 040

N25 = 13 *4 * 12 * 4 * 44 / 2 = 54 912

N24 = 13 * 12 * 4 = 624

N23 = 13 * 12 *6 * 44 = 41 184

N22 = 13 * 4 * 12 * 6 * 44 * 40 / 2 = 3 294 720

N20 = 4 * 10 * 15 * 12 / 2 = 3 600

N20 + N21 = 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 / 120 * 15 * 11 / 2 = 424 710

Donc N21= 421 110

N18 +N20 = 10 * 4^5 *15 * 11 / 2 / 6 = 140 800

Donc N18 = 138 400

N17 + N18 + N20 + N21 =  13 * 6 * 12 * 6 / 2 * 44 *40 * 36 / 6 = 29 652 480

Donc N17 = 29 089 370

N16 = 13 * 48 * 44 * 40 / 6 = 183 040

N14 = 4 * 10 * 5 * 3 = 600

N14 + N15 = 10 * 4^5 * 5 * 3 / 3 = 51 200

Donc N14 = 50 600

N11 + N14 = 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 / 120 * 5 * 3 = 77 220

Donc N11 = 76 620

N11 + N12 + N14 + N15 = 13 *4 * 48 * 44 * 40 * 36 / 24 = 6 589 440

Donc N12= 6 461 620

N10 = 4* 8 * 15 * 30 + 4 * 2 * 15 * 31 + 4 * 9 * 18 = 18768

N9 ?

Il y a la quinte xyztu. Il y a une autre hauteur v. On a le cas où v est rattaché à xyztuv et celui où il ne l’est pas. La paire se forme avec xyztu ou bien avec v. La couleur est nécessairement avec xyztu v.

6 de suite * une couleur * la paire *  une liberté de couleur : 9 * 4 * 18 * 17 / 2 = 5 508

5 de suite (as) * une couleur * paire en v cas N10 : 2 * 4 * 7 * 6 = 336

5 de suite (as) * une couleur * paire en v cas non N10 : 2 * 4 * 7 * 3 * 18 = 3 024

5 de suite (as) * une couleur * paire non en v cas N 10 : 2 * 4 * 7 * 18 * 4 = 4 032 

5 de suite (as) * une couleur * paire non en v cas non N 10 paire hors couleur : 2 * 4 * 7 * 5 * 3   = 840

5 de suite (as) * une couleur * paire non en v cas non N 10 paire dans couleur : 2 * 4 * 7 * 5 * 3 * 4 * 3 =10 080 

5 de suite (pas as) * une couleur * paire en v cas N10 : 8 * 4 * 6 * 6 = 1 152  

5 de suite (pas as) * une couleur * paire en v cas non N10 : 8 * 4 * 6 * 3 * 18 = 10 368

5 de suite (pas as) * une couleur * paire non en v cas N 10 : 8 * 4 * 6 * 18 * 4 = 13 824 

5 de suite (pas as) * une couleur * paire non en v cas non N 10 paire hors couleur : 8 * 4 * 6 * 5 * 3   = 2 880

5 de suite (pas as) * une couleur * paire non en v cas non N 10 paire dans couleur : 8 * 4 * 6 * 5 * 3 * 4 * 3 = 34 560   

N9+ N10 = 86 604

Donc N9 = 67 836

N8 + N9 + N10 = 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 / 120 * 15 * 21 + 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 * 8 / 720 * 21 + 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 / 120 * 8 * 3 = 1 889 316

(la paire est dans la couleur et autre carte non couleur+  couleur de 6 + couleur de 5 et paire ailleurs d’une autre couleur)

donc N8 = 1 802 712

N7+ N9 + N10 = 8 * 1024 * 15 * 24 / 2 + 2 * 1024 * 15 * 28 / 2 + 9 * 1024 * 4 * 18 /2  + 8 * 1024 * 24 * 23 / 2 + 2 * 1024 * 28 * 27 / 2 = 5 271 552

(quinte non as et paire associé plus autre carte, quinte dont as paire associée et autre carte , quinte de 6, quinte non as et paire ailleurs, quinte as et paire ailleurs).

Donc N7 = 5 184 948

N6 + N7 + … + N10 = 13 * 6 * 48 * 44 * 40 * 36 * 32 / 120  = 63 258 624

Donc N6 = 56 184 360

N5 = 4 * 8 * 24 * 20 / 2 + 4 *  8 *  6 *  24  + 4 * 8 * 6 * 6 *  3 / 2 + 4 * 2 * 28 * 24 / 2 + 4 * 2 * 3 * 28 + 4 * 7 * 22 + 4 * 2 * 23 + 4 * 8  =18208    

Quinte couleur de 5  sans as reste à prendre parmi 30 cartes  (24 + 6)

Quinte couleur de 5 avec reste à prendre parmi 31 cartes (28 + 3=

Quinte couleur de 6 sans as et avec

Quinte couleur de 7

N3 ?

Il y a la quinte xyztu. Il y a une autre hauteur v et une autre w

7 de suite * un couleur * 2 libertés : 8 * 4 * ( 7 * 6 / 2 * 3 * 3 + 7 * 3 + 1 )= 8 * 4 * 211 = 6 752

6 de suite (as) * une couleur * 1 autre valeur * 2 libertés de couleur : 2 * 4 *  6  * 211 = 10 128

6 de suite (pas as) * une couleur * 1 autre valeur * 2 libertés de couleur : 7 * 4 * 5  * 211 = 29 540

5 de suite (as) * une couleur * 2 autres valeurs * 2 libertés : 2 * 4 * 7 * 6 / 2 * 211 = 35 448

5 de suite (pas as) * une couleur * 2 autres valeurs * 2 libertés : 8 * 4 * 6 * 5 / 2 * 211 = 101 280

Donc N3 + N5= 183 148

Donc N3 = 164 940

N3 + N4 + N5 = 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 / 120 * 24 * 23 / 2 + 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 * 8 / 720 * 21 + 4 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 / 720 / 7 = 1 571 856

Donc N4 = 1 388 708

N2+N3 + N5 = 8 * 1024 * 24 * 23 /24 + 2 * 1024 * 28 * 27 /2 + 7 * 1024 * 20 + 2 * 1024 * 24 + 8 * 1024 = 1 163 264

Donc N 2 = 980 116

N1 +… + N5 = 52 * 48 * 44 * 40 * 36 * 32 * 28 / 720 / 7 = 28 114 944

Donc N1 = 25 562 972

Je me souviens vaguement d’un film où un professeur (de philosophie sans doute) donne une dissertation avec pour thème « le risque ». Un élève « branleur », rend sa copie immédiatement. Il avait écrit « le risque, c’est cela ». Le professeur lui met 20. Le professeur tente de faire que les élèves pensent pas eux-mêmes. Vers la fin, les élèves transportent la salle de classe sur le toit du bâtiment (comme ceux qui montent sur leur table dans « le cercle des poètes disparus »)

Je crois me rappeler que l’acteur jouant le professeur était Patrick Bruel.

C’est curieux ces souvenirs. Mis à part, cela je sais que je n’avais pas aimé le film.

Il est amusant de chercher sur google avec la phrase « le risque, c’est ça ». Cela devient une histoire que certains jugent réelle. Il est évoqué qu’il s’agit du film « Le Pion ». Mais cela ne colle pas avec mon souvenir.

Finalement, peu importe, je voudrais entamer une réflexion sur le risque. J’ai appris un nouveau mot : la cindynique : la science du risque.

Après avoir envisager d’en faire une catégorie à part, je me suis rendu compte que l’on pouvait logiquement rattacher cela à la catégorie statistique.