Un plan chouette

Mon intérêt pour la géologie, m’a conduit à la minéralogie et donc à la cristallographie. Je dois dire que cette dernière branche reste obscure pour moi.

La lecture de cela m’a conduit à des concepts mathématiques et à la notion de pavage.

Pour simplifier, on peut poser le problème en dimension 2 : le pavage du plan. Le problème se pose comme suit (au démarrage).

On suppose un motif élémentaire. Dans quelle mesure peut on recouvrir le plan avec ce motif ? Recouvrir signifie couvrir tout et sans superposition.

On s’interdit dans un premier temps la possibilité de recourir à plusieurs motifs.

Il parait que Federov a démontré qu’il n’y avait que 17 « types ».

On remarque que le fait d’utiliser exactement le même motif fait que celui se retrouve par translation ou rotation.

Contrairement à ce qui est indiqué ici :

http://pagesperso-orange.fr/therese.eveilleau//pages/jeux_mat/textes/pavage_17_types.htm

Il faudrait en toute logique interdire les symétries (et les symétries glissées).

ð      Cela aurait tendance à exclure les 12 cas où le pavage est identique à son reflet dans un miroir.  

Surtout, la question est : qu’est ce que ces types ? Un groupe de symétrie  du pavage ? Et alors qu’est-ce qu’un pavage ? (=> le dessin résultant sensé recouvrir tout le plan).

Il faut noter que tout cela ne dit rien de la forme du motif. Ce problème est abordé ici :

http://xavier.hubaut.info/coursmath/doc/pavages.htm

ð      Il y en a une infinité

ð      On peut donner les classer. 
 

Merci à Thérèse Eveilleau et Xavier Hubaut.