Demain, on rase gratis

Il y a une « histoire paradoxale » que j’aime bien (je n’en suis pas l’inventeur).

Nous somme le vendredi de la semaine S-1 et le professeur dit « la semaine prochaine je ferais une interrogation surprise ». On supposera qu’il y a 5 cours pour chaque jour de la semaine.

Le paradoxe vient du raisonnement suivant.

L’interrogation ne peut pas être le vendredi car alors cela ne serait pas une surprise. Elle est donc dans les 4 premiers jours. Mais le même raisonnement peut alors se tenir pour le jeudi. Et au bout de 5 fois, on en conclut que cette interrogation surprise est impossible.

Tentons de démêler l’affaire.

Tout d’abord, dans le monde réel, il est tout à fait possible qu’un professeur dise la phrase et qu’il procède à 0, 1 ou plusieurs interrogations la semaine suivante. Le monde réel n’est pas bloqué par ce paradoxe. En fait ce dont il est question c’est de la « cohérence » du professeur entre ce qu’il dit et ce qu’il fait. Il faut noter que les êtres humains n’ont que rarement une cohérence complète.

Le cas à 0 interrogation est légitime. C’était une menace, il a « menti ». Le professeur pense que c’est là un moyen de faire réviser ses élèves toute la semaine. Mais si les élèves ont mené le raisonnement, il risque l’effet contraire.

Le cas à 2  (ou plus) interrogations est étrange. Le statut « surprise » ou non de la première interrogation est ouvert mais il est clair que les suivantes le sont. Mais en faisant ceci l’avertissement du professeur « je vais faire une interrogation » est trompeur : il prétendait avertir en fait il a divertit.

Dans le cas à 1 interrogation, qui semble le plus « normal », on a 2 approches possibles.

La première c’est que le professeur anticipe le raisonnement des élèves. Les élèves calculent que l’interrogation est impossible donc toute interrogation est une surprise.

La seconde et la plus vraisemblable tient à la signification du mot « surprise ». Il ne faut pas la prendre au sens strict que l’on utilise dans la description du paradoxe « le matin d’un jour donné, on ne sait pas que l’on aura interrogation ». On peut interpréter ce mot comme la méconnaissance le vendredi de S-1 du jour de l’interrogation. Dans le langage courant, une telle imprécision est monnaie courante. La surprise est donc le vendredi de S-1 et non nécessairement le matin de chaque jour de S. En conséquence pour chaque jour de S, il y a une probabilité d’avoir l’interrogation.

Supposons que l’on a qu’une interrogation. Le vendredi de S-1, la probabilité qu’elle soit le jour i est de 20% quelque soit i. Cette répartition de probabilité évolue au fil de la semaine S (si l’on n’a pas eu interro le lundi (80% de chance), la probabilité est passée à 25% pour chaque jour). On a 5 tableaux de probabilité. L’incertitude est globale mais on admet de pouvoir se retrouver le vendredi matin avec 100% de chance d’avoir interro même si strictement, ce n’est plus une surprise.

Au final, cet exemple illustre plusieurs points que j’ai déjà évoqués.

-          La possibilité de mentir (cas à 0 et 2 interrogations)

-          La possibilité d’un décalage entre le « dit » et le « réel » (cas à 2 interros ou plus)

-          L’imprécision du vocabulaire (le mot « surprise »).

-          La fonction conative du discours (cas à 0 ou la première interprétation du cas 1)

-          Surtout l’indépendance de ce qui est dit de ce qui se passe : « la carte n’est pas le territoire ».