500 : perspective (4)

Examen du compas.

En pratique, la position exacte du compas n’a pas d’intérêt. Ce qui est pertinent c’est la «vraie » mesure de l’écartement du compas.

On réduit le compas a 3 points : la pointe « proche » P1, le sommet S –intersection des droites des branches) et point haut P2.

Il y a les propriétés suivantes : la première branche du compas (S-P1) est dans le même axe que la règle, les 2 branches du compas (S-P1 et S-P2) ont même longueur.

Le problème est que le compas est en en arrière et en hauteur. On va utiliser l’ombre du compas entre le C1 (le bout rond du compas) et C2 (l’ombre de C1 sur l’équerre). C2 étant sur l’équerre, on peut calculer son éloignement dans la profondeur P (La mesure lue est 0,7 cm par rapport à l’équerre). SP étant haut, C1 est proche de C2 et on voit que le retrait du compas (par rapport à l’équerre donc SP) est faible. On peut simplifier en négligeant le retrait additionnel de C2 par rapport à C1 (on peut le faire dans la profondeur P mais pas dans la largeur L car dans celle le bout rond du compas est assez éloigné de la vertical de SP). Donc C1 et C2 sont à la même profondeur. C’est aussi celle de S et  P1.

On peut projeter verticalement S et P1 sur l’équerre en S’ et P1’, puis projeter ces deux là  par T sur le bord de l’équerre en S’’ P1’’. On refait alors ce que l’on a fait pour le bord de l’équerre et on trouve une valeur « vraie » de 5,1 cm.

Il reste le cas de P2. Il est sur la sphère de centre S et de rayon x. Avec S pour origine et les bons axes, ces coordonnées sont l/p/z. P1 a pour coordonnée, 5,1/0/0.

On a l*l + p*p + z*z = 5,1*5,1

On cherche la distance P1-P2 =D

D*D = (5,1-l)^2 + p*p + z*z = 2 * 5,1^2 -2 * 5,1* l = 52,02 (1 – l/5,1)

Il reste à estimer l/5,1 (c’est la position relative de la coordonnée l sur S-P1). On peut le faire graphiquement (c’est la que l’on ne tente pas le calcul brut par un système d’équation trop sophistiqué). Il y des valeurs limites pour l/5,1. On a l/5,1 supérieur à la position de la verticale de P2 : 3,5/5 = 0,68. Le projeté T de P2  sur l plan ne donne rien. Sur le visuel, l’écart est de 3,7 cm, c’est une limite supérieure à D (réduction dû à la distance). Ceci entraîne l/5,1<0,74.

Ce premier encadrement de D est 3,7 –> 4,08 cm.

En prenant la valeur moyenne  l/5,1 = 3,6/5 = 0,72, on a D = 3,8 cm.

Au final, on peut trouver D. L’approximation peut être affinée en cherchant plus précisément la position relative de P2 (donc p et z). Graphiquement, cela restera délicat. On s’aperçoit aussi que la valeur n’est pas très éloignée de la valeur «du visuel ». C’est donc un calcul bien compliqué pour une précision médiocre et un écart faible d’une lecture « basique » (il n’y a pas de « prime » pour celui qui fait le calcul).