520 : droit d'Euler

http://fr.wikipedia.org/wiki/Droite_d'Euler

Est-il possible de trouver un triangle à partir des points de sa droite d’Euler ? Quelles sont les contraintes ?

On remarque que la relation entre les 3 points permet de laisser tomber l’un des 3.

Un première approche logique voudrait que donnée de 2 points ne peut pas fixer précisément 3 autres.

Le centre du cercle circonscrit indique donne un faisceau de cercle. On une première liberté (fixer le diamètre puis un second jeu : fixer 3 points du cercle)

Avec G (centre de gravité), on impose une limite inférieure au diamètre car G est à l’intérieur

La recherche sur internet ne donne pas de réponse à ce questionnement. La chasse n’est pas un exercice de math

Toutefois, nous utilisons l’autre sens, c’est Max qui avait le problème. Est-il possible qu’il ait pu construire Forbach/Héricourt/Bourges à partir de 2 points (vers Troyes et Langres) ? Surtout que Bourges est « fixé » (c’est la liberté résiduelle du problème).

Bourges fixé, le cercle circonscrit l’est aussi.

Bourges – Langres est une médiane et doit couper X-Y par le milieu. Le choix de X fixe donc Y. Il reste un degré de liberté. Sauf que G implique une autre contrainte. Plutôt que de la chercher avec G, on peut la voir par l’orthocentre H : XH doit être orthogonal à Bourges-Y.

Bref,  Bourges, Troyes, Langres fixe Héricourt et Forbach. Max aurait eu de la chance que cela tombe sur des villes. Il est possible que puisque les points Troyes-Langres ne sont pas complètement précis, cela puisse permettre une certaine tolérance pour  les 2 autres. Enfin, il est possible que par tâtonnement, Max est remarqué cette disposition et ait voulu l’utiliser. Au final, on ne peut pas complètement exclure l’idée de la piste « Langres ».

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle_des_neuf_points

Ce cercle et son centre ne me semble pas faire partie d’une solution possible