Embryon de réflexion sur la causalité.

Des lectures sur l’analyse des données, l’analyse spectrale et celle des processus stochastiques m’amènent à une réflexion sur la causalité.

Si l’on a causalité, c’est que la variable « temps » est là.

Supposons que l’on ait affaire a 2 grandeurs X(t) et Y(t) (des valeurs numériques réels, complexes, multidimensionnelles voire non numériques).

Remarque dans le cas où l’on a qu’une seule grandeur : les processus stochastiques X(t) sont imprévisibles (il n’est pas déterminé). Il est stationnaire si sa moyenne, son écart type et les moments d’ordre supérieures ainsi que les fonctions de corrélation demeurent invariants.

Il peuvent être « à mémoire ».

A noter que dans le cas où l’on a pas affaire à t mais à des populations (autant d’états constatés), l’analyse est différente. X et Y sont des attributs des individus (qui sont le lien) et l’on cherche une corrélation dans l’univers des valeurs X,Y par analyse en composante principale. On pourra identifier des sous-populations, éventuellement un axe privilégié qui donnera une relation du genre k = a z + b entre 2 grandeurs composites de (X,Y). Cette corrélation n’est pas une cause (mais c’est une question de vocabulaire). C’est une « loi d’état » sur la population concernée. On pourra (pré)dire que l’individu truc aura k1 = az1+b (si) parce que on a mesuré z1.

Revenons a X(t) et Y(t). Le lien c’est t. On peut regarder la trajectoire de t dans les dimensions X et Y. Si cela s’avère être une droite, un cercle, une spirale ou quelque chose de régulier (avec des logarithmes pas exemple), bingo. On a une corrélation.

Mais ce n’est pas de le causalité. A supposer que la causalité soit dans le sens X->Y, c’est la relation entre Y(t) et l’(ensemble des valeurs de X(t-t1) à X(t-t2).

Avec t1>t2>0.

Et si la causalité est concentrée temporellement, t1-t2 ne doit pas être trop grand (inférieur au temps caractéristiques de ce qui se passe sur X ou Y).

On peut par exemple s’intéresser à la fonction de corrélation entre dY/dt (t) et Rx(t,T<t) [à expliciter] et regarder l’évolution du spectre (sur T) en fonction de t. Si un période To est significative, on peut tirer une « cause » entre X(t-T0) et Y(t) pour tout t.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Autocorr%C3%A9lation

Le fait d’avoir pris dY/dt suppose que Y n’a pas de « mémoire ».

Il est possible que le spectre fournisse plusieurs périodes T1,...,Ti caractéristiques. Cela suppose des temps de réactions variés.

On tire ainsi une relation avec une seule « cause ». Il est possible que X soit décomposable en X1,...Xn avec n périodes propres pour les effets.

Le spectre (sur T) peut aussi être évolutif. Enfin, il peut ne rien montrer de significatif.