Soit l’énoncé suivant :

H1 Toute phrase est vrai ou fausse (de façon exclusive). 

H2 Cette phrase est fausse. 

Cet exemple est souvent cité comme paradoxe. On suppose H1 vrai. Alors, si H2 est vraie alors, elle est fausse c'est contradictoire avec H1. Et si H2 est fausse, alors elle est vraie et idem. H2 n’est donc ni vraie ni fausse. Or H2 est une phrase, il y a donc contradiction avec H1.  

En fait, il n’y a rien de paradoxal. H2 est un exemple qui prouve que H1 est faux. Il existe des phrases qui ne sont ni vraies ni fausses.  

H1 est  sous-entendu (admis). C’est la raison de l’apparence paradoxale.

Une autre formulation de H2 peut être par exemple : « le barbier rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes ».  Cette phrase conduit au paradoxe de savoir qui rase le barbier. Le paradoxe tombe si l’on fait apparaître H1. 

Il faudrait approfondir les définitions. On aurait par exemple :

-         Phrase = suite de mot

-         Mot : élément d’un lexique.

-         Notion de phrase syntaxiquement correcte (conforme à une grammaire).

On peut relativement facilement définir l’ensemble des phrases syntaxiquement correctes. Le plus ardu est de définir la restriction de cet ensemble aux phrases « signifiantes » (qui signifie quelque chose) ou intelligibles.

« Je pense que tu penses que je pense que tu penses que je pense que tu penses que c’est cher » est certainement syntaxiquement correct, elle et peut signifiante mais elle est inintelligible (exemple tiré de « aux origines  des langues et du langage », Bernard Victorri).

« La Lune mange la justice » est une phrase syntaxiquement correcte mais que l’on peut considérer comme « non signifiante » (surréalisme ?).

Ce n’est pas parce que l’on peut aligner des mots de façon syntaxiquement correcte que cette suite de mot veut dire quelquechose. Il n’est pas sur non plus sûr que si la signification existe; elle soit unique. Pire, elle peut signifier des choses différentes à des interlocuteurs différents (que l’on supposera francophones) voire au même interlocuteur à des moments différents. C’est aussi la richesse du double sens. La poésie fourmille de phrases dont le sens est indéterminé (0 ou plusieurs).

Pour qu’une phrase soit vraie ou fausse, il faut au moins qu’elle signifie quelque chose. Il faut peut être aussi qu’elle soit intelligible. Ces conditions ne sont pas suffisantes. H2 peut être considérée comme intelligible et signifiante mais ni vrai ni fausse. 

H1 est donc nécessairement fausse. En transposant, H1 correspond à la « loi du tiers exclu » qui s’exprime aussi « de deux choses l’une soit A soit non A » ou encore « P ou nonP est vrai ». A ou P sont des propositions. A ma connaissance, il n’existe pas de définition précise de ce qu’est une proposition dans ce cadre. La transposition que j’ai fait consiste premièrement à identifier « phrase » et « proposition » : c’est à voir. Deuxièmement, la transposition utilise le fait que « non être vrai » ó « être faux ». Cela est généralement admis. Il faut toutefois admettre que dans la vie courante, les propositions ont plusieurs manières d’être vrai ou d’être fausse.

Cf philosophiascientiae.free.fr/vol2/groneberg.pdf (la vérité du futur contingent  Lukasiewicz, Tarski ou Van Fraasen ?).

Cette référence distingue la bivalence et le tiers exclu. Notamment, la distinction est que la bivalence fait appel à la notion de vrai/faux alors que le tiers exclus n’est que formel. Toutefois, cette approche n’aborde en rien la signification des énoncés.