Lorsque l’on joue au poker (texas hold em), à la fin, on a connaissance de 7 cartes. Il y en 45 autres. Le problème est de savoir sur l’autre joueur (on supposera qu’il n’y en a plus qu’un alors) avec ces 2 cartes a une meilleur main que soit.

Peut-il avoir une couleur ?

S’il y en a déjà une d’étaler. Le problème est alors la hauteur (ou la flush).

S’il y a 4 cartes de la même couleur d’étaler et selon que l’on en ait 0, 1 ou 2 la probabilité pour lui est 9/45 + 9/44, 8/45 + 8/44 et 7/45+ 7/44. Soit  40%, 36% et 31%.

S’il y a 3 cartes de la même couleur d’étaler et selon que l’on en ait 0, 1 ou 2, la probabilité pour lui est 10/45*9/44, 9/45*9/44 et 8/45*8/44. Soit 5%, 4% et  3%.

Peut il avoir une quinte ?

Là encore, la quinte peut déjà être étalée.

S’il manque une carte d’un des 2 cotés (cela signifie que l’on a une « pré-suite de 4 cartes sans as) et selon qu’on l’ait (une seule) ou non, la probabilité est 7/45 + 7/44  ou 8/45 + 8/44. Soit 31% et 36%.

S’il manque une carte d’un seul coté ou « a milieu », selon qu’on l’ait (une seule) ou non, la probabilité est 3/45 + 3/44  ou 4/45 + 4/44. Soit 13% et 18%.

Si l’on a besoin de 2 cartes (extension libre des 2 cotés), selon que l’on en a 0,1 ou 2 est 8/45 * 8/44, environ 7/45*7,5/44 et 6/45*8/44. soit 3%, 2,6% et 2,4%.

En ce qui concerne la série des paires, brelan, full et carré, cela « va ensemble ». Afin d’alléger calculs, les probabilités des mains plus faibles incluent les cas « plus forts ».

Dans ce qui suit on suppose que l’on a rien de plus que ce qui est étalé. Evidemment, si on a le carré, il ne peut pas l’avoir.

Cas a : rien dans les 5 cartes étalées.

Alors, impossible d’avoir un carré ou un full.

Pbr1 = 15/45 * 2/44 = 1,5%

P2p1 = 15 /45 * 12/44 = 9 %

Pp (incluant les précédents) = 15/45 + 15/44 = 67%

Si on a une paire Pp’ = 14/15 * Pp = 63%

La probabilité qu’il ait une paire reste importante.

Cas b : une paire dans les 5 cartes étalées.

Pcarré1 = 2/45*1/44 = 0,1 %

Pfu 1 = 2/45*9/44 + 9/45*2/44 = 1,8%

Pbr2 = 2/45 +  2 /44 + 6/45*2/44 = 9,6%

P2p2 = 9/45 + 9/44 + 36/45*3/44 = 46%

Si l’on a 2 paires (complémentaire de ce qui est étalé) P2p2’ = 8/45 + 8/44 +36/45*3/44 = 41%

Cas c : 2 paires dans les 5 cartes étalées.

Pcarré2 = 4/45 * 1/44 = 0,2%

Pbrelan sec = 3/45*2/44 = 0,3%

Pfu2 = 4/45 + 4/44 + 3/45*2/44 = 18,3 %

Cas d : un brelan dans les 5 cartes étalées.

Pcarré3 = 1/45 + 1 /44 = 4,5%

Pfu3 = 6/45 + 6/44 + 40/45*3/44 = 33 %

Cas e : un full dans les 5 cartes étalées.

Pcarré4 = 1/45+ 1 /44 = 4,5%.